Os rebites de alumínio usados na construção de aviões são feitos com um diâmetro ligeiramente maior do que o diâmetro do buraco, e resfriados com 'gelo seco' ( $ \mathrm{CO}_{2} $ sólido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diâmetro de um buraco é $ 4,5 \mathrm{~mm} $, qual deve ser o diâmetro de um rebite a $ 23^{\circ} \mathrm{C} $ para que seu diâmetro fique igual ao do buraco quando o rebite for esfriado até $ -78^{\circ} \mathrm{C} $, a temperatura do gelo que será usado? Suponha que o coeficiente de dilatação do alumínio permaneça constante, no valor $ \alpha=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} $.

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula de dilatação linear:

$$ \Delta L = L_0 \alpha \Delta T $$

onde:
- $ \Delta L $ é a mudança no comprimento (ou diâmetro, neste caso),
- $ L_0 $ é o comprimento (ou diâmetro) inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação térmica linear,
- $ \Delta T $ é a mudança na temperatura.

Neste caso, queremos encontrar o diâmetro inicial $ D_0 $ do rebite tal que, ao ser resfriado, ele atinja o diâmetro final $ D_f = 4,5 \, \mathrm{mm} $. A mudança de temperatura $ \Delta T $ é de $ 23^{\circ} \mathrm{C} $ para $ -78^{\circ} \mathrm{C} $, então:

$$ \Delta T = T_f - T_i = (-78) - 23 = -101^{\circ} \mathrm{C} $$

Substituindo $ \Delta T $ na fórmula da dilatação linear e considerando $ \Delta L = D_f - D_0 $, temos:

$$ D_f - D_0 = D_0 \alpha \Delta T $$

Simplificando para encontrar $ D_0 $, obtemos:

$$ D_0 = \frac{D_f}{1 + \alpha \Delta T} $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$ D_0 = \frac{4,5 \, \mathrm{mm}}{1 + (2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1})(-101)} $$

Calculando o denominador primeiro:

$$ 1 + (2,4 \times 10^{-5})(-101) = 1 - 2,424 \times 10^{-3} = 0,997576 $$

Agora, dividindo $ D_f $ pelo valor calculado:

$$ D_0 = \frac{4,5}{0,997576} \approx 4,511 \, \mathrm{mm} $$

Portanto, o diâmetro do rebite a $ 23^{\circ} \mathrm{C} $ deve ser aproximadamente $ 4,511 \, \mathrm{mm} $ para que, quando resfriado até $ -78^{\circ} \mathrm{C} $, seu diâmetro se iguale ao do buraco de $ 4,5 \, \mathrm{mm} $.

Os rebites de alumínio usados na construção de aviões são fe...

Ask a question and receive an answer instantly