Os sistemas lineares podem ser representados a partir de matrizes. As matrizes são ferramentas matemáticas que imitam uma tabela, como elementos marcados com a notação \( a_{i j} \) em que a é o elemento propriamente dito, i é a linha da matriz em que ele se encontra e j é a coluna de localização do elemento. Assim, dado o sistema de equações lineares \( \left\{\begin{array}{c}x+2 y=3 \\ 3 x+4 y=-2\end{array}\right. \), a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:

Para encontrar a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema de equações lineares dado, primeiro precisamos identificar a matriz de coeficientes e a matriz das constantes.

O sistema de equações é:

$$\left\{\begin{array}{c}x+2 y=3 \\ 3 x+4 y=-2\end{array}\right.$$

A matriz de coeficientes $A$ (que contém os coeficientes das variáveis $x$ e $y$) e a matriz coluna $B$ (que contém as constantes do lado direito das equações) são, respectivamente:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Encontrando a Matriz Inversa de $A$

Para encontrar a matriz inversa $A^{-1}$, usamos a fórmula:

$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)$$

onde $det(A)$ é o determinante de $A$ e $adj(A)$ é a matriz adjunta de $A$.

O determinante de $A$ é calculado como:

$$det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$$

A matriz adjunta $adj(A)$ é a transposta da matriz de cofatores. Para uma matriz $2 \times 2$, podemos simplesmente trocar os elementos da diagonal principal e mudar os sinais dos elementos fora da diagonal principal. Assim, obtemos:

$$adj(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

Portanto, a matriz inversa $A^{-1}$ é:

$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$

Solução do Sistema

A solução do sistema pode ser encontrada multiplicando a matriz inversa $A^{-1}$ pela matriz coluna $B$:

$$X = A^{-1}B$$

Substituindo $A^{-1}$ e $B$:

$$X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(3) + 1(-2) \\ 1.5(3) - 0.5(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 2 \\ 4.5 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 5.5 \end{pmatrix}$$

Portanto, a matriz inversa dos coeficientes é $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$, e a matriz representativa da solução do sistema é $\begin{pmatrix} -8 \\ 5.5 \end{pmatrix}$.