Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, pelas integrais de funções de uma variável real. Considera o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas seguintes curvas: y = 0, y = 4 e x = 0. Assinale a alternativa que contém o volume do sólido formado.

Question

Accepted Answer

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo $ y $, utilizamos o método dos discos. A região é limitada pelas curvas $ y = 0.25x^2 $, $ y = 4 $, e $ x = 0 $.

1. **Encontre os pontos de interseção**:
   - Igualando $ y = 0.25x^2 $ a $ y = 4 $:
   $$
   0.25x^2 = 4 \implies x^2 = 16 \implies x = 4
   $$

2. **Determine o volume usando o método dos discos**:
   - O raio de cada disco é dado por $ x = \sqrt{\frac{y}{0.25}} = 2\sqrt{y} $.
   - O volume $ V $ é dado por:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{4} (2\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{4} 4y \, dy
   $$
   $$
   V = 4\pi \int_{0}^{4} y \, dy = 4\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4}
   $$
   $$
   V = 4\pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 4\pi \times 8 = 32\pi
   $$

**Resposta: B**

O volume do sólido formado é $ 32\pi $ unidades cúbicas.

Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, pelas...

Ask a question and receive an answer instantly