Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, dentro outros conceitos, pelas integrais de funções de uma variável real. Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelas seguintes curvas: y = 0.25x^2, y = 0, y = 4 e x = 0. Assinale a alternativa que contém o volume do sólido formado.

Question

Accepted Answer

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas $ y = 0.25x^2 $, $ y = 0 $, $ y = 4 $ e $ x = 0 $ em torno do eixo $ y $, podemos usar o método dos discos.

Primeiro, expressamos $ x $ em termos de $ y $:

$$
y = 0.25x^2 \implies x^2 = \frac{y}{0.25} \implies x = \sqrt{4y}
$$

O volume $ V $ é dado por:

$$
V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{4y})^2 \, dy = \pi \int_{0}^{4} 4y \, dy
$$

Calculando a integral:

$$
V = \pi \int_{0}^{4} 4y \, dy = \pi \left[ 2y^2 \right]_{0}^{4} = \pi [2(4)^2 - 2(0)^2]
$$

$$
V = \pi [2 \cdot 16] = 32\pi
$$

**Resposta: B**

O volume do sólido formado é $ 32\pi \, \text{u.v.} $.

Os volumes dos sólidos de rotação podem ser estudados, dentr...

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