P. 253 Deixam-se cair simultaneamente, no vácuo, dois corpos $ A $ e $ B $ de massas $ m_{A}=100 \mathrm{~kg} \mathrm{e} m_{n}-1 \mathrm{~kg} $.
a) Qual é a aceleraçào de cada um deles?
b) Qual dos blocos exerce força sobre o outro?
P. 254 (Efoa-MG) No esquema representado na figura ao lado, o bloco $ C $ tem massa 0.5 kg e está em repouso sobre o plano inclinado de 37 com a horizontal, preso pelo fio $ A B $. Nho há atrito entre o bloco e o plano.
a) Qual é a traçâo exercida pelo fio?
b) Cortando-se o fio, qual é a aceleraçáo adquirida pelo bloco?
(Dados: $ \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; \operatorname{sen} 37^{\circ}=\cos 53^{\circ}=0,6 ; \operatorname{sen} 53^{\circ}=\cos 37^{\circ}=0,8 $ )
P. 255 (UFPR) Um corpo de massa igual a 5 kg parte, do repouso, da base de um plano inclinado - este com ängulo igual a $ 30^{\prime} $ e comprimento 5 m - e atinge sua extremidade superior em 10 s . Qual é a intensidade da força externa paralela ao plano inclinado que fol aplicada ao corpo? (Use $ \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $.) Despreze os atritos.
P. 256 Determine a aceleraçâo dos corpos na situaçao esquematizada ao lado. Adote $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $. O fio e a polia têm massa desprezivel. Nao há atrito (dado: $ \operatorname{sen} 30^{\circ}=0,5 $ ).
Exercicios propostos de recapitulação
P. 257 (Unirio-RJ) Um corpo A, de 10 kg , é colocado num plano horizontal sem atrito. Uma corda ideal de peso desprezivel liga o corpo $ A $ a um corpo $ B $, de 40 kg . passando por uma polia de massa desprezivel e também sem atrito. O corpo $ B $, inicialmente em repouso, esta a uma altura de $ 0,36 \mathrm{~m} $. como mostra a figura. Sendo a aceleraçâo da gravidade $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $, determine:
a) o módulo da traçâo na corda:
b) o intervalo de tempo necessário para que o corpo $ B $ chegue ao solo.
P. 258 (UFRJ) Um operário usa uma empilhadeira de massa total igual a uma tonelada para levantar verticalmente uma caixa de massa igual a meia tonelada, com uma aceleraçào inicial de $ 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $, que se mantém constante durante um curto intervalo de tempo. Use $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $ e calcule, nesse intervalo de tempo:
a) a Intensidade da força que a empilhadeira exerce sobre a caixa;
b) a intensidade da força que o chào exerce sobre a enpilhadelra (despreze a massa das partes móveis da empilhadeira).
P. 259 No arranjo experimental da figura os fios e a polia têm massas desprezivels. Despreze atritos e adote $ g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $. Os corpos tēm massas $ m_{d}=5 \mathrm{~kg}, m_{e}=4 \mathrm{~kg} $ e $ m_{C}=1 \mathrm{~kg} . \mathrm{O} $ corpo $ C $ é uma balança graduada em newtons. Determine a indicação da balança.
214
Os Fundamentos da Fisica
P. 260 (Olimpiada Brasileira de Fisica) A figura representa dois baldes de massas $ M_{l} $ e $ M_{\varepsilon} $, contendo cada um uma quantidade de areia de massa $ M $.
Considere a polia e os fios ideais. Supondo que a massa $ M_{1} $ seja Iigeiramente maior que a massa $ M_{1} $, responda:
a) Qual a quantidade $ m $ de arela que deve ser translerida do balde de massa $ M_{1} $ para o balde de massa $ M_{2} $, para que a aceleraçāo do sistema aumente de um fator $ f $ ?
b) Qual o maior valor de $ f $ possivel?

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada problema um por um.

### P. 253
#### Parte (a)
No vácuo, a aceleração de qualquer objeto em queda livre é igual à aceleração da gravidade $ g $, independentemente de sua massa. Portanto, para ambos os corpos $ A $ e $ B $:
$$ a_A = a_B = g = 9,8 \, \text{m/s}^2 $$

#### Parte (b)
No vácuo, não há forças de resistência como o ar, então nenhum dos blocos exerce uma força sobre o outro apenas devido à queda livre. Ambos estão sujeitos apenas à força gravitacional.

### P. 254
#### Parte (a)
Para encontrar a tração no fio, devemos considerar as forças atuando no bloco $ C $ em repouso. O bloco está equilibrado, então a componente do peso na direção do plano inclinado deve ser igual à tração no fio.

A componente do peso ao longo do plano inclinado é:
$$ T = m_C \cdot g \cdot \sin(37^\circ) $$
Substituindo os valores:
$$ T = 0,5 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,6 $$
$$ T = 3 \, \text{N} $$

#### Parte (b)
Quando o fio é cortado, o bloco $ C $ estará sujeito apenas à componente do peso ao longo do plano inclinado:
$$ a = g \cdot \sin(37^\circ) $$
Substituindo os valores:
$$ a = 10 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,6 $$
$$ a = 6 \, \text{m/s}^2 $$

### P. 255
Para encontrar a intensidade da força externa aplicada, precisamos primeiro calcular a aceleração do corpo ao longo do plano inclinado.

Usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
$$ s = ut + \frac{1}{2}at^2 $$
Aqui, $ s = 5 \, \text{m} $, $ u = 0 \, \text{m/s} $, $ t = 10 \, \text{s} $:
$$ 5 = 0 + \frac{1}{2}a(10)^2 $$
$$ 5 = 50a $$
$$ a = 0,1 \, \text{m/s}^2 $$

Agora, a força externa $ F $ necessária para mover o corpo é dada por:
$$ F = m \cdot a + m \cdot g \cdot \sin(30^\circ) $$
Substituindo os valores:
$$ F = 5 \, \text{kg} \cdot 0,1 \, \text{m/s}^2 + 5 \, \text{kg} \cdot 9,8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0,5 $$
$$ F = 0,5 \, \text{N} + 24,5 \, \text{N} $$
$$ F = 25 \, \text{N} $$

### P. 256
Para determinar a aceleração dos corpos, consideramos o sistema como um todo. Supondo que $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas dos corpos ligados pela polia:

A força resultante no sistema é:
$$ F_{\text{res}} = (m_2 - m_1 \cdot \sin(30^\circ)) \cdot g $$
A aceleração do sistema é:
$$ a = \frac{F_{\text{res}}}{m_1 + m_2} $$

Substituindo os valores:
$$ F_{\text{res}} = (4 \, \text{kg} - 5 \, \text{kg} \cdot 0,5) \cdot 10 \, \text{m/s}^2 $$
$$ F_{\text{res}} = 1 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 $$
$$ F_{\text{res}} = 10 \, \text{N} $$

A aceleração:
$$ a = \frac{10 \, \text{N}}{5 \, \text{kg} + 4 \, \text{kg}} $$
$$ a = \frac{10}{9} \, \text{m/s}^2 \approx 1,11 \, \text{m/s}^2 $$

### P. 257
#### Parte (a)
Para o sistema com polia, a aceleração pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton para cada corpo.

A força resultante é:
$$ F_{\text{res}} = m_B \cdot g - T $$
Para o corpo $ A $:
$$ T = m_A \cdot a $$

Para o corpo $ B $:
$$ m_B \cdot g - T = m_B \cdot a $$

Somando as equações:
$$ m_B \cdot g = (m_A + m_B) \cdot a $$
$$ a = \frac{m_B \cdot g}{m_A + m_B} $$

Substituindo os valores:
$$ a = \frac{40 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2}{10 \, \text{kg} + 40 \, \text{kg}} $$
$$ a = \frac{400}{50} $$
$$ a = 8 \, \text{m/s}^2 $$

A tração na corda é:
$$ T = m_A \cdot a $$
$$ T = 10 \, \text{kg} \cdot 8 \, \text{m/s}^2 $$
$$ T = 80 \, \text{N} $$

#### Parte (b)
Para encontrar o intervalo de tempo, usamos a fórmula:
$$ s = ut + \frac{1}{2}at^2 $$
Aqui, $ s = 0,36 \, \text{m} $, $ u = 0 \, \text{m/s} $:
$$ 0,36 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot t^2 $$
$$ 0,36 = 4t^2 $$
$$ t^2 = \frac{0,36}{4} $$
$$ t^2 = 0,09 $$
$$ t = \sqrt{0,09} $$
$$ t = 0,3 \, \text{s} $$

### P. 258
#### Parte (a)
A força que a empilhadeira exerce sobre a caixa é a soma da força devido à gravidade e a força adicional devido à aceleração:
$$ F = m \cdot (g + a) $$
Substituindo os valores:
$$ F = 500 \, \text{kg} \cdot (10 \, \text{m/s}^2 + 0,5 \, \text{m/s}^2) $$
$$ F = 500 \cdot 10,5 $$
$$ F = 5250 \, \text{N} $$

#### Parte (b)
A força que o chão exerce sobre a empilhadeira é a soma das forças devido ao peso da empilhadeira e da caixa:
$$ F_{\text{chão}} = m_{\text{empilhadeira}} \cdot g + m_{\text{caixa}} \cdot (g + a) $$
Substituindo os valores:
$$ F_{\text{chão}} = 1000 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 + 500 \, \text{kg} \cdot 10,5 \, \text{m/s}^2 $$
$$ F_{\text{chão}} = 10000 + 5250 $$
$$ F_{\text{chão}} = 15250 \, \text{N} $$

### P. 259
Para determinar a indicação da balança, consideramos as forças em equilíbrio.

A força que a balança indica é a força resultante do sistema de polias:
$$ F_{\text{balança}} = (m_d + m_e + m_c) \cdot g $$

Substituindo os valores:
$$ F_{\text{balança}} = (5 \, \text{kg} + 4 \, \text{kg} + 1 \, \text{kg}) \cdot 10 \, \text{m/s}^2 $$
$$ F_{\text{balança}} = 10 \cdot 10 $$
$$ F_{\text{balança}} = 100 \, \text{N} $$

### P. 260
#### Parte (a)
Para aumentar a aceleração do sistema em um fator $ f $, a diferença de massa entre os baldes deve ser aumentada:
$$ M_1 - m = M_2 + m $$
$$ m = \frac{(M_1 - M_2)(f - 1)}{2} $$

#### Parte (b)
O maior valor de $ f $ possível ocorre quando todo o excesso de massa é transferido:
$$ f_{\text{máx}} = \frac{M_1}{M_2} $$

P. 253 Deixam-se cair simultaneamente, no vácuo, dois corpos...

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