P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, suspenso a uma mola helicoidal de massa desprezível. As posições ocupadas pelo corpo são registradas, por meio de um estilete preso a ele, em uma fita de papel vertical que se desloca horizontalmente, com velocidade constante v = 0,20 m/s.

Determine:

a) a frequência e a amplitude do movimento do corpo;
b) a constante elástica da mola;
c) a função horária do espaço do corpo, sabendo que, no instante t = 0, a elongação é nula e o corpo está subindo.

Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.

Question

P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, suspenso a uma mola helicoidal de massa desprezível. As posições ocupadas pelo corpo são registradas, por meio de um estilete preso a ele, em uma fita de papel vertical que se desloca horizontalmente, com velocidade constante v = 0,20 m/s.

Determine:

a) a frequência e a amplitude do movimento do corpo;
b) a constante elástica da mola;
c) a função horária do espaço do corpo, sabendo que, no instante t = 0, a elongação é nula e o corpo está subindo.

Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar cada item:

### a) Frequência e amplitude do movimento do corpo

- **Amplitude (A):** A amplitude é a distância máxima da posição de equilíbrio. No gráfico, é dado como $0{,}20\, \text{m}$.

- **Período (T):** O período é o tempo necessário para completar uma oscilação completa. Observando o gráfico, a oscilação completa ocorre em $0{,75}\, \text{m}$ na fita. Como a fita se desloca com velocidade constante $v = 0{,}20\, \text{m/s}$, o período é:

$$
  T = \frac{0{,75}\, \text{m}}{0{,}20\, \text{m/s}} = 3{,}75\, \text{s}
  $$

- **Frequência (f):** A frequência é o inverso do período:

$$
  f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3{,}75\, \text{s}} \approx 0{,267}\, \text{Hz}
  $$

### b) Constante elástica da mola

A constante elástica $k$ pode ser calculada usando a fórmula da frequência angular $\omega$:

$$
\omega = 2\pi f \quad \text{e} \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
$$

Substituindo $f = 0{,}267\, \text{Hz}$ e $m = 2\, \text{kg}$:

$$
\omega = 2\pi \times 0{,}267 \approx 1{,}68\, \text{rad/s}
$$

$$
1{,}68 = \sqrt{\frac{k}{2}}
$$

$$
k = (1{,}68)^2 \times 2 \approx 5{,}65\, \text{N/m}
$$

### c) Função horária do espaço do corpo

A função horária para o movimento harmônico simples é dada por:

$$
x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)
$$

No instante $t = 0$, a elongação é nula e o corpo está subindo, portanto $\phi = \frac{\pi}{2}$.

Substituindo os valores conhecidos:

$$
x(t) = 0{,}20 \cdot \sin(1{,}68 t + \frac{\pi}{2})
$$

Essa é a função horária do movimento do corpo.

P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, suspenso a ...

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