Para analisar as propriedades do paralelepípedo oblíquo defi...

Para analisar as propriedades do paralelepípedo oblíquo definido pelos pontos dados, aplicamos conceitos de geometria analítica. A seguir, apresento uma explicação detalhada dos cálculos realizados para determinar o comprimento da diagonal CE, a área da base, o volume do paralelepípedo e o ângulo entre as arestas AE e AB.

a) Comprimento da diagonal CE

Para calcular o comprimento da diagonal CE, utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Os pontos C e E têm coordenadas C(0, 9, 0) e E(4, 2, 2), respectivamente. Aplicando a fórmula:

$$d_{CE} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 9)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 49 + 4} = \sqrt{69}$$

Portanto, o comprimento da diagonal CE é $\sqrt{69}$.

b) Área da base do paralelepípedo

A base do paralelepípedo é o retângulo OABC com os vértices O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 9, 0) e C(0, 9, 0). A área da base é calculada como o produto dos comprimentos dos lados OA e OC:

• OA = 3 unidades
• OC = 9 unidades

Assim, a área da base é:

$$A_{\text{base}} = OA \times OC = 3 \times 9 = 27 \text{ unidades quadradas}$$

c) Volume do paralelepípedo

O volume do paralelepípedo oblíquo é dado pelo produto da área da base pela altura. Consideramos a altura como a diferença na coordenada z entre as bases, que é $z = 2 - 0 = 2$.

Portanto, o volume é:

$$V = 27 \times 2 = 54 \text{ unidades cúbicas}$$

d) Ângulo entre as arestas AE e AB

Para encontrar o ângulo entre as arestas AE e AB, calculamos os vetores correspondentes:

• $\vec{AE} = (4-3, 2-0, 2-0) = (1, 2, 2)$
• $\vec{AB} = (3-3, 9-0, 0-0) = (0, 9, 0)$

O cosseno do ângulo $\theta$ entre esses vetores é dado por:

$$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AE}| |\vec{AB}|}$$

Calculamos o produto escalar e as magnitudes dos vetores:

$$\vec{AE} \cdot \vec{AB} = 1 \times 0 + 2 \times 9 + 2 \times 0 = 18$$ $$|\vec{AE}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$ $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 0^2} = 9$$

Assim, o cosseno do ângulo é:

$$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$$

Portanto, o ângulo $\theta$ é dado por $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

Esses cálculos permitem compreender melhor as propriedades geométricas do paralelepípedo oblíquo, oferecendo uma visão clara de suas dimensões e relações angulares. Faça o texto sem números