Para construir
5 Uma máquina é composta de duas rodas, uma de raio medindo $ 1,2 \mathrm{~m} $ e outra de raio medindo $ 1,0 \mathrm{~m} $ tem uma distância de separação entre suas circunferências de $ 1,8 \mathrm{~m} $, conforme indicado na figura.

Sabendo que ambas as rodas são tangentes à reta que contém $ \mathbf{x} $, calcule a medida de $ \mathbf{x} $, que é distância de separação entre os pontos de tangência. $ \qquad $
$ \qquad $

Question

Para construir
5 Uma máquina é composta de duas rodas, uma de raio medindo $ 1,2 \mathrm{~m} $ e outra de raio medindo $ 1,0 \mathrm{~m} $ tem uma distância de separação entre suas circunferências de $ 1,8 \mathrm{~m} $, conforme indicado na figura.

Sabendo que ambas as rodas são tangentes à reta que contém $ \mathbf{x} $, calcule a medida de $ \mathbf{x} $, que é distância de separação entre os pontos de tangência. $ \qquad $
$ \qquad $

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a distância entre os pontos de tangência das duas rodas com a reta. Vamos considerar que as rodas são tangentes à reta que contém $ \mathbf{x} $.

As rodas têm raios $ R_1 = 1,2 \, \mathrm{m} $ e $ R_2 = 1,0 \, \mathrm{m} $, e a distância entre suas circunferências é $ d = 1,8 \, \mathrm{m} $.

Primeiro, vamos entender a configuração geométrica do problema:

1. A distância entre os centros das rodas é a soma dos raios mais a distância entre as circunferências:
   $$
   D = R_1 + R_2 + d
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   D = 1,2 \, \mathrm{m} + 1,0 \, \mathrm{m} + 1,8 \, \mathrm{m}
   $$
   $$
   D = 4,0 \, \mathrm{m}
   $$

2. Como ambas as rodas são tangentes à mesma reta, a distância vertical entre os centros das rodas é a diferença dos raios:
   $$
   \Delta y = R_1 - R_2
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   \Delta y = 1,2 \, \mathrm{m} - 1,0 \, \mathrm{m}
   $$
   $$
   \Delta y = 0,2 \, \mathrm{m}
   $$

3. A distância horizontal entre os pontos de tangência, que é a medida de $ \mathbf{x} $, pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos centros das rodas:
   $$
   x^2 + (\Delta y)^2 = D^2
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   x^2 + (0,2 \, \mathrm{m})^2 = (4,0 \, \mathrm{m})^2
   $$
   $$
   x^2 + 0,04 \, \mathrm{m}^2 = 16,0 \, \mathrm{m}^2
   $$
   $$
   x^2 = 16,0 \, \mathrm{m}^2 - 0,04 \, \mathrm{m}^2
   $$
   $$
   x^2 = 15,96 \, \mathrm{m}^2
   $$
   $$
   x = \sqrt{15,96 \, \mathrm{m}^2}
   $$
   $$
   x \approx 3,996 \, \mathrm{m}
   $$

Portanto, a medida de $ \mathbf{x} $ é aproximadamente $ 3,996 \, \mathrm{m} $.