Para encontrar a correlação linear entre as variáveis X X e Y Y, precisamos calcular a covariância entre X X e Y Y e, em seguida, usar as variâncias de X X e Y Y.

Passos: Calcular a Covariância Cov ( X , Y ) Cov(X,Y):

A covariância é dada por:

Cov ( X , Y )

E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) Primeiro, calculamos E ( X Y ) E(XY):

E ( X Y )

∑ ∑ x i y j P ( X

x i , Y

y j ) E(XY)=∑∑x i ​ y j ​ P(X=x i ​ ,Y=y j ​ ) Calculando cada termo:

E ( X Y )

( 3 × 1 × 0.09 ) + ( 3 × 2 × 0.29 ) + ( 4 × 1 × 0.23 ) + ( 4 × 2 × 0.03 ) + ( 5 × 1 × 0.34 ) + ( 5 × 2 × 0.02 ) E(XY)=(3×1×0.09)+(3×2×0.29)+(4×1×0.23)+(4×2×0.03)+(5×1×0.34)+(5×2×0.02) E ( X Y )

0.27 + 1.74 + 0.92 + 0.24 + 1.7 + 0.2

5.07 E(XY)=0.27+1.74+0.92+0.24+1.7+0.2=5.07 Agora, usando E ( X )

3.98 E(X)=3.98 e E ( Y )

1.34 E(Y)=1.34:

Cov ( X , Y )

5.07 − ( 3.98 × 1.34 )

5.07 − 5.3332

− 0.2632 Cov(X,Y)=5.07−(3.98×1.34)=5.07−5.3332=−0.2632 Calcular as Variâncias Var ( X ) Var(X) e Var ( Y ) Var(Y):

Var ( X )

E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2

16.58 − ( 3.98 ) 2

16.58 − 15.8404

0.7396 Var(X)=E(X 2 )−[E(X)] 2 =16.58−(3.98) 2 =16.58−15.8404=0.7396 Var ( Y )

E ( Y 2 ) − [ E ( Y ) ] 2

2.02 − ( 1.34 ) 2

2.02 − 1.7956

0.2244 Var(Y)=E(Y 2 )−[E(Y)] 2 =2.02−(1.34) 2 =2.02−1.7956=0.2244 Calcular a Correlação ρ X Y ρ XY ​ :

ρ X Y

Cov ( X , Y ) Var ( X ) ⋅ Var ( Y ) ρ XY ​

Var(X)⋅Var(Y) ​

Cov(X,Y) ​

ρ X Y

− 0.2632 0.7396 × 0.2244

− 0.2632 0.1660

− 0.2632 0.4074 ≈ − 0.646 ρ XY ​

0.7396×0.2244 ​

−0.2632 ​

0.1660 ​

−0.2632 ​

0.4074 −0.2632 ​ ≈−0.646 Resposta: C

A correlação linear entre X X e Y Y é aproximadamente − 0.65 −0.65. de onde saiu esse valor da variância 16.58?