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Para encontrar o último dígito de $777^{777}$, precisamos determinar o padrão dos últimos dígitos das potências de 777.

Primeiro, observamos que o último dígito de qualquer potência de 777 será o mesmo que o último dígito da potência correspondente de 7, pois estamos apenas interessados no último dígito.

Agora, analisamos os últimos dígitos das potências de 7:

• $7^1 = 7$, último dígito é 7.
• $7^2 = 49$, último dígito é 9.
• $7^3 = 343$, último dígito é 3.
• $7^4 = 2401$, último dígito é 1.
• $7^5 = 16807$, último dígito é 7.

Podemos ver que os últimos dígitos das potências de 7 se repetem em um ciclo de 4: 7, 9, 3, 1.

Para encontrar o último dígito de $777^{777}$, determinamos a posição de 777 no ciclo:

Calculamos $777 \mod 4$:

$$777 \div 4 = 194 \text{ com resto } 1.$$

Assim, $777 \equiv 1 \pmod{4}$.

Portanto, $777^{777}$ tem o mesmo último dígito que $7^1$, que é 7.

Resposta: 7

Por que o mod e 4 e de onde surgiu ele