Para que a função $f(x)$ seja contínua em todo o domínio dos...

Para que a função $f(x)$ seja contínua em todo o domínio dos reais, ela deve ser contínua no ponto de transição $x = 1$. Isso significa que o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de 1 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $x = 1$.

1. Limite à esquerda:

   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x - 2a) = 1 - 2a$$

2. Limite à direita:

   $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (a^2x^3 + 1) = a^2(1)^3 + 1 = a^2 + 1$$

3. Valor da função em $x = 1$:

   $$f(1) = a^2(1)^3 + 1 = a^2 + 1$$

Para a continuidade em $x = 1$, os limites laterais devem ser iguais:

$$1 - 2a = a^2 + 1$$

Resolvendo a equação para $a$:

$$a^2 + 2a = 0 \\ a(a + 2) = 0$$

Isso nos dá duas soluções possíveis para $a$:

$$a = 0 \quad \text{ou} \quad a = -2$$

Portanto, os valores de $a$ que tornam a função contínua em todo o domínio dos reais são $a = 0$ e $a = -2$.

Resposta: a = 0 ou a = -2 X^3 é x^2