Para que a função seja contínua em toda parte, ela deve ser ...

Para que a função seja contínua em toda parte, ela deve ser contínua nos pontos de transição, ou seja, em $x = 1$ e $x = 2$. Isso significa que os limites laterais devem ser iguais nesses pontos, e o valor da função nesses pontos deve ser igual ao limite.

1. Continuidade em $x = 1$:

• Limite à esquerda:

  $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a(1) + b = 1 + a + b$

• Limite à direita:

  $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{3}{x+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$

Para a continuidade em $x = 1$, os limites laterais devem ser iguais:

$1 + a + b = \frac{3}{2}$

$a + b = \frac{3}{2} - 1$

$a + b = \frac{1}{2}$

2. Continuidade em $x = 2$:

• Limite à esquerda:

  $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x+1} = \frac{3}{2+1} = \frac{3}{3} = 1$

• Limite à direita:

  $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (-x^2 + 2ax - b) = -(2)^2 + 2a(2) - b = -4 + 4a - b$

Para a continuidade em $x = 2$, os limites laterais devem ser iguais:

$1 = -4 + 4a - b$

$4a - b = 1 + 4$

$4a - b = 5$

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

1. $a + b = \frac{1}{2}$
2. $4a - b = 5$

Somando as duas equações, eliminamos $b$:

$(a + b) + (4a - b) = \frac{1}{2} + 5$

$5a = \frac{1}{2} + \frac{10}{2}$

$5a = \frac{11}{2}$

$a = \frac{11}{10}$

Substituindo o valor de $a$ na primeira equação para encontrar $b$:

$\frac{11}{10} + b = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2} - \frac{11}{10}$

$b = \frac{5}{10} - \frac{11}{10}$

$b = -\frac{6}{10}$

$b = -\frac{3}{5}$

Portanto, os valores de $a$ e $b$ que tornam a função contínua são $a = \frac{11}{10}$ e $b = -\frac{3}{5}$. Alternativas Alternativa 1: a = b

Alternativa 2: a = 2b

Alternativa 3: a+b é um número negativo.

Alternativa 4: b - a é um número negativo.

Alternativa 5: a+b = 0,5 Qual alternativa corresponde a resposta