Para resolver a integral de superfície apresentada, podemos ...

Para resolver a integral de superfície apresentada, podemos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície ao fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral do divergente desse campo em uma região tridimensional. No entanto, a superfície $S$ dada não é fechada, pois corresponde apenas à parte da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ no primeiro octante.

Passo 1: Definir o problema

A integral a ser calculada é:

$$\iint_S \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS,$$

onde $\mathbf{f} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j}$.

A superfície $S$ é a parte da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ no primeiro octante, e a normal está apontando para fora.

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Passo 2: Verificar se o Teorema de Gauss pode ser aplicado

O Teorema de Gauss só pode ser aplicado em superfícies fechadas. Para isso, completamos a superfície $S$ adicionando as partes do plano $x = 0$, $y = 0$, e $z = 0$ que delimitam o primeiro octante da esfera.

Assim, a superfície fechada total é composta por:

1. A parte da esfera $S$,
2. O disco no plano $z = 0$ (base da esfera no primeiro octante).

Vamos aplicar o Teorema de Gauss considerando a região fechada.

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Passo 3: Calcular o divergente de $\mathbf{f}$

O campo vetorial é $\mathbf{f} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j}$. O divergente é dado por:

$$\nabla \cdot \mathbf{f} = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(-x) + \frac{\partial}{\partial z}(0).$$

Calculando:

$$\nabla \cdot \mathbf{f} = 0 + 0 + 0 = 0.$$

Como o divergente é zero, o fluxo total através da superfície fechada é zero:

$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{f}) \, dV = 0.$$

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Passo 4: Dividir a superfície

A superfície fechada é composta por:

1. $S$: a parte da esfera no primeiro octante,
2. $S_1$: o disco no plano $z = 0$.

Pelo Teorema de Gauss:

$$\iint_S \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS + \iint_{S_1} \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0.$$

Logo:

$$\iint_S \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS = -\iint_{S_1} \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS.$$

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Passo 5: Calcular o fluxo em $S_1$ (disco no plano $z = 0$)

No plano $z = 0$, temos $S_1$ como o quarto de círculo de raio $a$ no plano $xy$. A normal unitária é $\mathbf{n} = -\mathbf{k}$ (apontando para dentro da região fechada).

O campo vetorial no plano $z = 0$ é $\mathbf{f} = y\mathbf{i} - x\mathbf{j}$. Assim:

$$\mathbf{f} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{f} \cdot (-\mathbf{k}) = 0,$$

pois $\mathbf{f}$ não possui componente na direção $\mathbf{k}$.

Portanto:

$$\iint_{S_1} \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0.$$

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Passo 6: Concluir o resultado

Como $\iint_{S_1} \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0$, concluímos que:

$$\iint_S \mathbf{f} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0.$$

Resposta final:

$$\boxed{0}.$$

Tem como resolver sem o teorema?