Pergunta:
Em uma reuniāo, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composiçāo dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião.
O número de trabalhadores presentes é:

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem. Se $n$ é o número de pessoas presentes na reunião, então o número de maneiras de escolher um presidente é $n$, após escolher o presidente, restam $n-1$ opções para o cargo de vice-presidente, e depois de escolher o vice-presidente, restam $n-2$ opções para o cargo de secretário.

Assim, o número total de possibilidades de composição da diretoria é dado pelo produto dessas possibilidades, ou seja:
$$n \times (n - 1) \times (n - 2)$$

De acordo com o enunciado, esse número é trinta vezes o número de pessoas presentes, ou seja:
$$n \times (n - 1) \times (n - 2) = 30n$$

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $n$, assumindo $n > 0$:
$$(n - 1) \times (n - 2) = 30$$

Expandindo a equação, temos:
$$n^2 - 3n + 2 = 30$$

Simplificando:
$$n^2 - 3n - 28 = 0$$

Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara, onde $a = 1$, $b = -3$, e $c = -28$. A fórmula é:
$$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Substituindo os valores de $a$, $b$, e $c$:
$$n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1}$$
$$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$$
$$n = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{2}$$
$$n = \frac{3 \pm 11}{2}$$

Temos duas soluções para $n$:
- $n = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$
- $n = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Como o número de pessoas não pode ser negativo, a única solução válida é $n = 7$.

Portanto, o número de trabalhadores presentes na reunião é 7.

Pergunta: Em uma reuniāo, trabalhadores de uma indústria dec...

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