Pergunta:
O quadrado da diagonal de um prisma reto de base quadrada tem o triplo da medida do quadrado da diagonal da sua base. Sabendo que a área total desse prisma é igual a 640 cm², responda.

a) Quais são as medidas das arestas desse pris- ma? arestas das bases: 8 cm), arestas laterais 16 cm

b) Qual é a área lateral desse prisma?
Resposta:

Question

Pergunta:
O quadrado da diagonal de um prisma reto de base quadrada tem o triplo da medida do quadrado da diagonal da sua base. Sabendo que a área total desse prisma é igual a 640 cm², responda.

a) Quais são as medidas das arestas desse pris- ma? arestas das bases: 8 cm), arestas laterais 16 cm

b) Qual é a área lateral desse prisma?
Resposta:

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos seguir os seguintes passos:

1. Determinar as medidas das arestas do prisma.
2. Calcular a área lateral do prisma.

### Parte (a): Medidas das arestas do prisma

Vamos chamar:
- $ a $ de aresta da base quadrada,
- $ h $ de altura do prisma.

A diagonal da base ($ d_b $) de um quadrado de lado $ a $ é dada por:
$$ d_b = a\sqrt{2} $$

A diagonal do prisma ($ d_p $) pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras em três dimensões:
$$ d_p = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} $$

Sabemos que o quadrado da diagonal do prisma é o triplo do quadrado da diagonal da base:
$$ d_p^2 = 3d_b^2 $$
Substituindo as expressões das diagonais:
$$ 2a^2 + h^2 = 3(a\sqrt{2})^2 $$
$$ 2a^2 + h^2 = 6a^2 $$
$$ h^2 = 4a^2 $$
$$ h = 2a $$

A área total do prisma é dada por:
$$ A_{total} = 2A_{base} + A_{lateral} $$
Onde:
$$ A_{base} = a^2 $$
$$ A_{lateral} = 4ah $$

Substituindo $ h = 2a $:
$$ A_{lateral} = 4a(2a) = 8a^2 $$

Então, a área total é:
$$ A_{total} = 2a^2 + 8a^2 = 10a^2 $$

Sabendo que a área total é 640 cm²:
$$ 10a^2 = 640 $$
$$ a^2 = 64 $$
$$ a = 8 \, \text{cm} $$

Logo, a altura $ h $ é:
$$ h = 2a = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm} $$

Portanto, as medidas das arestas são:
- Arestas das bases: $ 8 \, \text{cm} $
- Arestas laterais: $ 16 \, \text{cm} $

### Parte (b): Área lateral do prisma

A área lateral do prisma é dada por:
$$ A_{lateral} = 4ah $$

Substituindo os valores encontrados:
$$ A_{lateral} = 4 \times 8 \times 16 $$
$$ A_{lateral} = 512 \, \text{cm}^2 $$

### Resposta Final

**a)** As medidas das arestas do prisma são:
- Arestas das bases: $ 8 \, \text{cm} $
- Arestas laterais: $ 16 \, \text{cm} $

**b)** A área lateral do prisma é:
$$ 512 \, \text{cm}^2 $$

Pergunta: O quadrado da diagonal de um prisma reto de base q...

Ask a question and receive an answer instantly