Pergunta:
Considerando os números 60, 110 e 126, assinale o que for correto.

2 é o único divisor positivo par de 110.

A soma dos números primos positivos que são simultaneamente divisores de 60 e de 126 é igual a 5.

A soma dos divisores positivos do número 110 é igual a 216.

O mínimo múltiplo comum entre 60 e 110 é 6600.

máximo divisor comum entre 60 e 126 é 6.

Question

Pergunta:
Considerando os números 60, 110 e 126, assinale o que for correto.

2 é o único divisor positivo par de 110.

A soma dos números primos positivos que são simultaneamente divisores de 60 e de 126 é igual a 5.

A soma dos divisores positivos do número 110 é igual a 216.

O mínimo múltiplo comum entre 60 e 110 é 6600.

 máximo divisor comum entre 60 e 126 é 6.

Accepted Answer

Para responder a cada afirmação, vamos analisar uma por uma:

1. **2 é o único divisor positivo par de 110.**

Para verificar isso, precisamos lembrar que qualquer número par tem 2 como um divisor. O número 110 é par, então 2 é de fato um divisor. No entanto, se 110 tem outros divisores pares, esta afirmação será falsa. A fatoração de 110 é $110 = 2 \times 5 \times 11$. Isso mostra que 2 é um divisor, mas também indica que qualquer múltiplo desses fatores que inclua o 2 também será um divisor par (por exemplo, 20 = 2 x 10). Portanto, 2 não é o único divisor positivo par de 110, pois 22 e 55 também são divisores pares. Assim, essa afirmação é **falsa**.

2. **A soma dos números primos positivos que são simultaneamente divisores de 60 e de 126 é igual a 5.**

Primeiro, vamos encontrar os divisores primos de 60 e 126:

- Fatoração de 60: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. Os divisores primos são 2, 3, e 5.
- Fatoração de 126: $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. Os divisores primos são 2, 3, e 7.

Os divisores primos comuns entre 60 e 126 são 2 e 3. A soma desses é $2 + 3 = 5$. Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.

3. **A soma dos divisores positivos do número 110 é igual a 216.**

Para calcular a soma dos divisores de um número, podemos usar a fórmula derivada da função divisor. Para um número $n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$, a soma dos divisores é $\prod (p_i^{a_i + 1} - 1) / (p_i - 1)$, onde $p_i$ são os fatores primos de $n$ e $a_i$ são suas respectivas potências.

Para 110, que é $2^1 \times 5^1 \times 11^1$, a soma dos divisores será:

$$
\left(\frac{2^{1+1} - 1}{2-1}\right) \times \left(\frac{5^{1+1} - 1}{5-1}\right) \times \left(\frac{11^{1+1} - 1}{11-1}\right)
$$

$$
= \left(\frac{4 - 1}{1}\right) \times \left(\frac{25 - 1}{4}\right) \times \left(\frac{121 - 1}{10}\right)
$$

$$
= 3 \times 6 \times 12 = 216
$$

Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.

4. **O mínimo múltiplo comum entre 60 e 110 é 6600.**

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) de 60 e 110, primeiro fatoramos cada número:

- 60 = $2^2 \times 3 \times 5$
- 110 = $2 \times 5 \times 11$

O MMC é obtido pegando o maior expoente de cada fator primo presente em ambos os números, portanto:

- MMC(60, 110) = $2^2 \times 3 \times 5 \times 11 = 4 \times 3 \times 5 \times 11 = 660$

Portanto, essa afirmação é **falsa**; o MMC entre 60 e 110 é 660, não 6600.

5. **O máximo divisor comum entre 60 e 126 é 6.**

Para encontrar o máximo divisor comum (MDC), precisamos encontrar os fatores comuns com os menores expoentes:

- 60 = $2^2 \times 3 \times 5$
- 126 = $2 \times 3^2 \times 7$

O MDC é composto pelos fatores comuns nas menores potências:

- MDC(60, 126) = $2^1 \times 3^1 = 6$

Portanto, essa afirmação é **verdadeira**.

**Resumo:**
- A primeira afirmação é falsa.
- A segunda afirmação é verdadeira.
- A terceira afirmação é verdadeira.
- A quarta afirmação é falsa.
- A quinta afirmação é verdadeira.

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