Por que a derivada parcial da funcao g(x,y)=2x^2+y^3, em relação à variável r, sabendo que x(r, teta)=rcos teta e y(r,teta)=r sen teta dar a resposta 8r^3 sen^4 reta

Q: Por que a derivada parcial da funcao g(x,y)=2x^2+y^3, em relação à variável r, sabendo que x(r, teta)=rcos teta e y(r,teta)=r sen teta dar a resposta 8r^3 sen^4 reta

Para encontrar a derivada parcial da função $ g(x, y) = 2x^2 + y^3 $ em relação à variável $ r $, onde $ x(r, \theta) = r \cos \theta $ e $ y(r, \theta) = r \sin \theta $, precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos calcular passo a passo: 1. **Substituir as expressões de $ x $ e $ y $:** \[ g(r, \theta) = 2(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^3 \] Simplificando, temos: \[ g(r, \theta) = 2r^2 \cos^2 \theta + r^3 \sin^3 \theta \] 2. **Calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ r $:** Diferenciando $ g(r, \theta) $ em relação a $ r $, obtemos: \[ \frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left( 2r^2 \cos^2 \theta + r^3 \sin^3 \theta \right) \] Aplicando a derivada para cada termo: - Para o primeiro termo $ 2r^2 \cos^2 \theta $: \[ \frac{\partial}{\partial r} (2r^2 \cos^2 \theta) = 4r \cos^2 \theta \] - Para o segundo termo $ r^3 \sin^3 \theta $: \[ \frac{\partial}{\partial r} (r^3 \sin^3 \theta) = 3r^2 \sin^3 \theta \] 3. **Somar os resultados:** \[ \frac{\partial g}{\partial r} = 4r \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^3 \theta \] A expressão dada na pergunta, $ 8r^3 \sin^4 \theta $, não corresponde ao cálculo correto da derivada parcial de $ g $ em relação a $ r $. O resultado correto é: \[ \frac{\partial g}{\partial r} = 4r \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^3 \theta \]

Question

Por que a derivada parcial da funcao g(x,y)=2x^2+y^3, em relação à variável r, sabendo que x(r, teta)=rcos teta e y(r,teta)=r sen teta  dar a resposta 8r^3 sen^4 reta

Accepted Answer

Para encontrar a derivada parcial da função $ g(x, y) = 2x^2 + y^3 $ em relação à variável $ r $, onde $ x(r, \theta) = r \cos \theta $ e $ y(r, \theta) = r \sin \theta $, precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos calcular passo a passo:

1. **Substituir as expressões de $ x $ e $ y $:**

$$
   g(r, \theta) = 2(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^3
   $$

Simplificando, temos:

$$
   g(r, \theta) = 2r^2 \cos^2 \theta + r^3 \sin^3 \theta
   $$

2. **Calcular a derivada parcial de $ g $ em relação a $ r $:**

Diferenciando $ g(r, \theta) $ em relação a $ r $, obtemos:

$$
   \frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left( 2r^2 \cos^2 \theta + r^3 \sin^3 \theta \right)
   $$

Aplicando a derivada para cada termo:

- Para o primeiro termo $ 2r^2 \cos^2 \theta $:

$$
     \frac{\partial}{\partial r} (2r^2 \cos^2 \theta) = 4r \cos^2 \theta
     $$

- Para o segundo termo $ r^3 \sin^3 \theta $:

$$
     \frac{\partial}{\partial r} (r^3 \sin^3 \theta) = 3r^2 \sin^3 \theta
     $$

3. **Somar os resultados:**

$$
   \frac{\partial g}{\partial r} = 4r \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^3 \theta
   $$

A expressão dada na pergunta, $ 8r^3 \sin^4 \theta $, não corresponde ao cálculo correto da derivada parcial de $ g $ em relação a $ r $. O resultado correto é:

$$
\frac{\partial g}{\partial r} = 4r \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^3 \theta
$$

Por que a derivada parcial da funcao g(x,y)=2x^2+y^3, em rel...

Por que a derivada parcial da funcao g(x,y)=2x^2+y^3, em relação à variável r, sabendo que x(r, teta)=rcos teta e y(r,teta)=r sen teta dar a resposta 8r^3 sen^4 reta

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