preciso de 3 exercicio de mdc rico em detalhes bem explicado por favor

Question

Accepted Answer

Claro! Vamos trabalhar com três exercícios sobre o cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC), cada um com explicações detalhadas.

### Exercício 1

**Enunciado:** Calcule o MDC de 48 e 180.

**Solução:**

Para calcular o MDC, podemos usar o método da fatoração em números primos:

1. **Fatoração de 48:**
   - 48 é divisível por 2: $48 \div 2 = 24$
   - 24 é divisível por 2: $24 \div 2 = 12$
   - 12 é divisível por 2: $12 \div 2 = 6$
   - 6 é divisível por 2: $6 \div 2 = 3$
   - 3 é primo.

Assim, a fatoração de 48 é $2^4 \times 3^1$.

2. **Fatoração de 180:**
   - 180 é divisível por 2: $180 \div 2 = 90$
   - 90 é divisível por 2: $90 \div 2 = 45$
   - 45 é divisível por 3: $45 \div 3 = 15$
   - 15 é divisível por 3: $15 \div 3 = 5$
   - 5 é primo.

Assim, a fatoração de 180 é $2^2 \times 3^2 \times 5^1$.

3. **Identificação dos fatores comuns:**
   - Os fatores comuns são $2$ e $3$.
   - Para o MDC, pegamos os menores expoentes desses fatores comuns:
     - Para $2$, o menor expoente é $2$.
     - Para $3$, o menor expoente é $1$.

4. **Cálculo do MDC:**
   $$
   MDC = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12
   $$

**Resposta:** O MDC de 48 e 180 é 12.

---

### Exercício 2

**Enunciado:** Calcule o MDC de 56 e 98 usando o algoritmo de Euclides.

**Solução:**

O algoritmo de Euclides é um método eficiente para encontrar o MDC utilizando divisões sucessivas.

1. **Divida 98 por 56 e encontre o resto:**
   $$
   98 \div 56 = 1 \quad \text{resto} = 42
   $$

2. **Substitua 98 por 56 e 56 por 42, e repita o processo:**
   $$
   56 \div 42 = 1 \quad \text{resto} = 14
   $$

3. **Continue o processo com 42 e 14:**
   $$
   42 \div 14 = 3 \quad \text{resto} = 0
   $$

Quando o resto é 0, o divisor atual é o MDC.

**Resposta:** O MDC de 56 e 98 é 14.

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### Exercício 3

**Enunciado:** Encontre o MDC de 84, 126 e 210.

**Solução:**

Vamos usar a fatoração em números primos para encontrar o MDC de mais de dois números.

1. **Fatoração de 84:**
   - 84 é divisível por 2: $84 \div 2 = 42$
   - 42 é divisível por 2: $42 \div 2 = 21$
   - 21 é divisível por 3: $21 \div 3 = 7$
   - 7 é primo.

Fatoração de 84: $2^2 \times 3^1 \times 7^1$.

2. **Fatoração de 126:**
   - 126 é divisível por 2: $126 \div 2 = 63$
   - 63 é divisível por 3: $63 \div 3 = 21$
   - 21 é divisível por 3: $21 \div 3 = 7$
   - 7 é primo.

Fatoração de 126: $2^1 \times 3^2 \times 7^1$.

3. **Fatoração de 210:**
   - 210 é divisível por 2: $210 \div 2 = 105$
   - 105 é divisível por 3: $105 \div 3 = 35$
   - 35 é divisível por 5: $35 \div 5 = 7$
   - 7 é primo.

Fatoração de 210: $2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1$.

4. **Identificação dos fatores comuns:**
   - Os fatores comuns entre todos são $2$, $3$ e $7$.
   - Para o MDC, pegamos os menores expoentes:
     - Para $2$, o menor expoente é $1$.
     - Para $3$, o menor expoente é $1$.
     - Para $7$, o menor expoente é $1$.

5. **Cálculo do MDC:**
   $$
   MDC = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42
   $$

**Resposta:** O MDC de 84, 126 e 210 é 42.

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