Problema 2.38
Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade μ = 2,15x10^{-3}lb_f.s/ft^2, escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada θ = 45º para baixo em relação à horizontal, numa película de espessura h = 0,1in. O perfil de velocidade é dado por

u = \frac{ρg}{μ} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) \sinθ

A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Trace o perfil de velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.

Question

Problema 2.38
Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade μ = 2,15x10^{-3}lb_f.s/ft^2, escoa em regime permanente sobre uma superfície inclinada θ = 45º para baixo em relação à horizontal, numa película de espessura h = 0,1in. O perfil de velocidade é dado por

u = \frac{ρg}{μ} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) \sinθ

A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela. Trace o perfil de velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Determinar o perfil de velocidade:**

O perfil de velocidade é dado pela equação:
   
   $$
   u = \frac{\rho g}{\mu} \left( hy - \frac{y^2}{2} \right) \sin \theta
   $$

Onde:
   - $\rho$ é a densidade do petróleo.
   - $g$ é a aceleração devido à gravidade.
   - $\mu$ é a viscosidade.
   - $h$ é a espessura da película.
   - $y$ é a coordenada normal à superfície.
   - $\theta = 45^\circ$.

2. **Calcular a densidade $\rho$:**

A densidade relativa (SG) é 0,85, então a densidade $\rho$ é:
   
   $$
   \rho = 0,85 \times 62,4 \, \text{lb/ft}^3
   $$

3. **Substituir os valores na equação do perfil de velocidade:**

Substitua $\rho$, $g = 32,2 \, \text{ft/s}^2$, $\mu = 2,15 \times 10^{-3} \, \text{lb/ft.s}$, $h = 0,1 \, \text{in} = \frac{0,1}{12} \, \text{ft}$, e $\theta = 45^\circ$.

4. **Determinar a tensão de cisalhamento na superfície:**

A tensão de cisalhamento $\tau$ na superfície é dada por:

$$
   \tau = \mu \left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0}
   $$

Derive $u$ em relação a $y$ e avalie em $y = 0$.

5. **Calcular a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento:**

Substitua os valores para encontrar a magnitude da tensão de cisalhamento na superfície.

Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, estou à disposição!