Problema 5. No plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, usando centímetro (cm) como unidade de comprimento, os pontos (0, 4), (8, 8), (4, 0), (16, 4) e (8, 0) são vértices de um losango. Determine a medida, em cm, do raio da circunferência inscrita neste losango.

Question

Accepted Answer

Para determinar o raio da circunferência inscrita em um losango, precisamos primeiro entender que a circunferência inscrita é aquela que toca todos os lados do losango. O raio dessa circunferência é igual à altura do losango quando este é considerado como dois triângulos congruentes.

Os vértices dados são: $ (0, 4) $, $ (8, 8) $, $ (16, 4) $, e $ (8, 0) $.

1. **Calcular a distância entre os vértices opostos**:
   - $ A = (0, 4) $ e $ C = (16, 4) $
   - $ B = (8, 8) $ e $ D = (8, 0) $

2. **Distância entre $ A $ e $ C $**:
   $$
   d_{AC} = \sqrt{(16 - 0)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{16^2} = 16
   $$

3. **Distância entre $ B $ e $ D $**:
   $$
   d_{BD} = \sqrt{(8 - 8)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{8^2} = 8
   $$

4. **Calcular a área do losango**:
   A área do losango é dada por:
   $$
   \text{Área} = \frac{d_{AC} \times d_{BD}}{2} = \frac{16 \times 8}{2} = 64
   $$

5. **Calcular o lado do losango**:
   Como os lados do losango são iguais, calculamos usando $ A $ e $ B $:
   $$
   L = \sqrt{(8 - 0)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
   $$

6. **Calcular o raio da circunferência inscrita**:
   O raio $ r $ é dado por:
   $$
   r = \frac{\text{Área}}{\text{Perímetro}}
   $$
   O perímetro $ P $ é $ 4L = 4 \times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5} $.

Então,
   $$
   r = \frac{64}{16\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}
   $$

Portanto, o raio da circunferência inscrita no losango é $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ cm.

Problema 5. No plano, munido do sistema usual de coordenadas...

Problema 5. No plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, usando centímetro (cm) como unidade de comprimento, os pontos (0, 4), (8, 8), (4, 0), (16, 4) e (8, 0) são vértices de um losango. Determine a medida, em cm, do raio da circunferência inscrita neste losango.

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