Propriedades daa integrais

Question

Accepted Answer

As propriedades das integrais são fundamentais para a compreensão e manipulação de integrais em cálculo. Aqui estão algumas das principais propriedades:

1. **Linearidade da Integral:**
   - Para funções $ f(x) $ e $ g(x) $ e constantes $ a $ e $ b $:
   $$
   \int (a f(x) + b g(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx
   $$

2. **Adição/Diferença de Intervalos:**
   - Se $ a < b < c $, então:
   $$
   \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
   $$

3. **Integral de uma Constante:**
   - Para uma constante $ c $:
   $$
   \int c \, dx = c x + C
   $$
   onde $ C $ é a constante de integração.

4. **Mudança de Variáveis (Substituição):**
   - Se $ u = g(x) $ é uma função diferenciável cuja derivada $ g'(x) $ é contínua, então:
   $$
   \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
   $$

5. **Integração por Partes:**
   - Para funções $ u(x) $ e $ v(x) $ diferenciáveis:
   $$
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   $$

6. **Propriedade do Valor Médio:**
   - Se $ f(x) $ é contínua em $[a, b]$, então existe um número $ c $ em $[a, b]$ tal que:
   $$
   \int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b-a)
   $$

Estas propriedades são ferramentas poderosas para resolver integrais e entender o comportamento de funções através de suas integrais.