Prova AV
Cálculo Diferencial e Integral

O cálculo de áreas entre funções é uma técnica valiosa em muitas áreas da ciência e pode ser usado para determinar a área de uma região limitada por duas ou mais curvas, bem como para calcular o volume de objetos complexos e encontrar o centro de massa de um objeto. Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de
y = e^x, y = 0, x = 0 e x = 1, em unidades de volume, (u.v).

A
$ \frac{\pi}{2} (e^{2} - 1) $

B
$ \frac{2\pi}{3} (e^{2} - 1) $

C
$ (e^{2} - 1) $

D
$ \pi (e^{2} - 1) $

E
$ \frac{3\pi}{2} (e^{2} - 1) $

Question

Prova AV
Cálculo Diferencial e Integral

O cálculo de áreas entre funções é uma técnica valiosa em muitas áreas da ciência e pode ser usado para determinar a área de uma região limitada por duas ou mais curvas, bem como para calcular o volume de objetos complexos e encontrar o centro de massa de um objeto. Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de
y = e^x, y = 0, x = 0 e x = 1, em unidades de volume, (u.v).

A
$ \frac{\pi}{2} (e^{2} - 1) $

B
$ \frac{2\pi}{3} (e^{2} - 1) $

C
$ (e^{2} - 1) $

D
$ \pi (e^{2} - 1) $

E
$ \frac{3\pi}{2} (e^{2} - 1) $

Accepted Answer

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva $ y = e^x $ em torno do eixo $ x $, no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, usamos o método dos discos. A fórmula para o volume $ V $ é:

$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
$$

Substituindo $ f(x) = e^x $, $ a = 0 $ e $ b = 1 $:

$$
V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx
$$

Calculando a integral:

$$
\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$

Aplicando os limites de integração:

$$
V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} e^{0} \right)
$$

$$
V = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} (e^{2} - 1)
$$

**Resposta: A**

Portanto, o volume do sólido de revolução é $ \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) $.

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