Prove por indução que 2+4+6+...+2n=n(n+1).

Q: Prove por indução que 2+4+6+...+2n=n(n+1).

Para provar por indução que a soma dos primeiros $ n $ números pares é dada por $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1) $, seguimos os passos da indução matemática: **Passo 1: Base da Indução** Para $ n = 1 $, temos apenas o primeiro número par, que é 2. A fórmula nos dá: \[ n(n+1) = 1(1+1) = 2. \] Portanto, a base da indução está correta. **Passo 2: Passo Indutivo** Assumimos que para algum $ k \geq 1 $, a fórmula é verdadeira, ou seja: \[ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k = k(k+1). \] Precisamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para $ k+1 $, isto é: \[ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1). \] Usando a hipótese de indução, temos: \[ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1). \] Fatorando o lado direito, obtemos: \[ k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k + 2). \] Note que: \[ (k+1)(k+2) = (k+1)((k+1)+1). \] Portanto, mostramos que: \[ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1). \] Assim, por indução, a fórmula $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1) $ é verdadeira para todo $ n \geq 1 $.

Question

Accepted Answer

Para provar por indução que a soma dos primeiros $ n $ números pares é dada por $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1) $, seguimos os passos da indução matemática:

**Passo 1: Base da Indução**

Para $ n = 1 $, temos apenas o primeiro número par, que é 2.

A fórmula nos dá:
$$ n(n+1) = 1(1+1) = 2. $$

Portanto, a base da indução está correta.

**Passo 2: Passo Indutivo**

Assumimos que para algum $ k \geq 1 $, a fórmula é verdadeira, ou seja:
$$ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k = k(k+1). $$

Precisamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para $ k+1 $, isto é:
$$ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1). $$

Usando a hipótese de indução, temos:
$$ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1). $$

Fatorando o lado direito, obtemos:
$$ k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k + 2). $$

Note que:
$$ (k+1)(k+2) = (k+1)((k+1)+1). $$

Portanto, mostramos que:
$$ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1). $$

Assim, por indução, a fórmula $ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = n(n+1) $ é verdadeira para todo $ n \geq 1 $.

Prove por indução que 2+4+6+...+2n=n(n+1).

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