Qual é a imagem da função real definida por $ f(x)=\frac{2+x}{2-x} $ ?

Q: Qual é a imagem da função real definida por $ f(x)=\frac{2+x}{2-x} $ ?

Para encontrar a imagem da função $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} $, precisamos analisar os valores que $ f(x) $ pode assumir à medida que $ x $ varia em todo o conjunto dos números reais. Primeiro, observamos que o denominador $2 - x$ não pode ser zero, pois isso tornaria a expressão indefinida. Portanto, $ x \neq 2 $. Agora, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 2: - Quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^-$), $ f(x) $ tende a $ -\infty $. - Quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+$), $ f(x) $ tende a $ +\infty $. Isso indica que a função tem uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em $ x = 2 $. Para determinar a imagem da função, vamos analisar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende ao infinito e ao negativo infinito: - Quando $ x \to \infty $, $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} \approx \frac{x}{-x} = -1 $. - Quando $ x \to -\infty $, $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} \approx \frac{x}{-x} = -1 $. Isso sugere que, para valores extremamente grandes (positivos ou negativos) de $ x $, $ f(x) $ se aproxima de -1, mas nunca realmente alcança esse valor devido à natureza da função. Para confirmar que todos os outros valores reais são possíveis, podemos rearranjar a equação $ y = \frac{2+x}{2-x} $ para resolver em termos de $ x $: \[ y(2-x) = 2+x \] \[ 2y - xy = 2 + x \] \[ x(y + 1) = 2y - 2 \] \[ x = \frac{2y - 2}{y + 1} \] Para qualquer valor de $ y $ diferente de -1 (já que $ y + 1 \neq 0 $), existe um valor correspondente de $ x $. Isso significa que a função pode assumir qualquer valor real, exceto quando causa divisão por zero no rearranjo acima, o que ocorre em $ y = -1 $. Portanto, a imagem da função é $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $, ou seja, todos os números reais exceto -1.

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Para encontrar a imagem da função $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} $, precisamos analisar os valores que $ f(x) $ pode assumir à medida que $ x $ varia em todo o conjunto dos números reais.

Primeiro, observamos que o denominador $2 - x$ não pode ser zero, pois isso tornaria a expressão indefinida. Portanto, $ x \neq 2 $.

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 2:
- Quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ x \to 2^-$), $ f(x) $ tende a $ -\infty $.
- Quando $ x $ se aproxima de 2 pela direita ($ x \to 2^+$), $ f(x) $ tende a $ +\infty $.

Isso indica que a função tem uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em $ x = 2 $.

Para determinar a imagem da função, vamos analisar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende ao infinito e ao negativo infinito:
- Quando $ x \to \infty $, $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} \approx \frac{x}{-x} = -1 $.
- Quando $ x \to -\infty $, $ f(x) = \frac{2+x}{2-x} \approx \frac{x}{-x} = -1 $.

Isso sugere que, para valores extremamente grandes (positivos ou negativos) de $ x $, $ f(x) $ se aproxima de -1, mas nunca realmente alcança esse valor devido à natureza da função.

Para confirmar que todos os outros valores reais são possíveis, podemos rearranjar a equação $ y = \frac{2+x}{2-x} $ para resolver em termos de $ x $:
$$ y(2-x) = 2+x $$
$$ 2y - xy = 2 + x $$
$$ x(y + 1) = 2y - 2 $$
$$ x = \frac{2y - 2}{y + 1} $$

Para qualquer valor de $ y $ diferente de -1 (já que $ y + 1 \neq 0 $), existe um valor correspondente de $ x $. Isso significa que a função pode assumir qualquer valor real, exceto quando causa divisão por zero no rearranjo acima, o que ocorre em $ y = -1 $.

Portanto, a imagem da função é $ \mathbb{R} \setminus \{-1\} $, ou seja, todos os números reais exceto -1.

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Qual é a imagem da função real definida por f(x)=2+x2−xf(x)=\frac{2+x}{2-x}f(x)=2−x2+x​ ?

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