Qual é a integral indefinida de ∫ x . sen 4x dx?
A
B
C
D
E

Q: Qual é a integral indefinida de ∫ x . sen 4x dx? A B C D E

Para resolver a integral $\int x \cdot \sin(4x) \, dx$, podemos usar o método de integração por partes, que é dado por: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Escolhemos $u = x$ e $dv = \sin(4x) \, dx$. Assim, temos: - $du = dx$ - $v = \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x)$ Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos: \[ \int x \cdot \sin(4x) \, dx = -\frac{x}{4} \cos(4x) + \frac{1}{4} \int \cos(4x) \, dx \] Calculando a integral restante: \[ \int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x) \] Substituindo de volta, temos: \[ \int x \cdot \sin(4x) \, dx = -\frac{x}{4} \cos(4x) + \frac{1}{16} \sin(4x) + C \] Portanto, a resposta correta é: **Resposta: B** \[ \frac{\sin 4x}{16} - \frac{x \cos 4x}{4} + C \]

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral $\int x \cdot \sin(4x) \, dx$, podemos usar o método de integração por partes, que é dado por:

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Escolhemos $u = x$ e $dv = \sin(4x) \, dx$. Assim, temos:

- $du = dx$
- $v = \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x)$

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:

$$
\int x \cdot \sin(4x) \, dx = -\frac{x}{4} \cos(4x) + \frac{1}{4} \int \cos(4x) \, dx
$$

Calculando a integral restante:

$$
\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)
$$

Substituindo de volta, temos:

$$
\int x \cdot \sin(4x) \, dx = -\frac{x}{4} \cos(4x) + \frac{1}{16} \sin(4x) + C
$$

Portanto, a resposta correta é:

**Resposta: B**

$$
\frac{\sin 4x}{16} - \frac{x \cos 4x}{4} + C
$$