Qual é a quantidade de elementos da P.G. finita $ (1,3,9,27 \ldots) $, sabendo que a soma dos termos dessa PG é 121?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Geométrica (P.G.) finita. A fórmula para a soma $ S_n $ dos primeiros $ n $ termos de uma P.G. é dada por:

$$ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

onde:
- $ S_n $ é a soma dos $ n $ termos.
- $ a $ é o primeiro termo.
- $ r $ é a razão.
- $ n $ é o número de termos.

No caso da P.G. dada $ (1, 3, 9, 27, \ldots) $:
- O primeiro termo $ a = 1 $.
- A razão $ r = 3 $.
- A soma dos termos $ S_n = 121 $.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

$$ 121 = 1 \frac{3^n - 1}{3 - 1} $$

Simplificando, obtemos:

$$ 121 = \frac{3^n - 1}{2} $$

Multiplicando ambos os lados da equação por 2:

$$ 242 = 3^n - 1 $$

Adicionando 1 a ambos os lados da equação:

$$ 243 = 3^n $$

Agora, precisamos encontrar o valor de $ n $ que satisfaça esta equação. Sabemos que $ 243 $ é uma potência de 3, especificamente:

$$ 243 = 3^5 $$

Portanto:

$$ n = 5 $$

Assim, a quantidade de elementos da P.G. é **5**.

Qual é a quantidade de elementos da P.G. finita \( (1,3,9,27 \ldots) \), sabendo que a soma dos termos dessa PG é 121?