Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra MATEMÁTICA?

Para calcular o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra "MATEMÁTICA", precisamos considerar a fórmula para permutações de um conjunto com elementos repetidos. A palavra "MATEMÁTICA" tem 10 letras, onde algumas se repetem:

• M: 2 vezes
• A: 3 vezes
• T: 2 vezes
• E: 1 vez
• I: 1 vez
• C: 1 vez

A fórmula para calcular o número de anagramas é:

$$\frac{n!}{p_1! \cdot p_2! \cdot p_3! \cdots p_k!}$$

onde $n$ é o número total de letras e $p_i$ são as frequências das letras repetidas.

Aplicando essa fórmula, temos:

$$n = 10$$ $$p_1 = 2 \quad (M)$$ $$p_2 = 3 \quad (A)$$ $$p_3 = 2 \quad (T)$$ $$p_4 = 1 \quad (E)$$ $$p_5 = 1 \quad (I)$$ $$p_6 = 1 \quad (C)$$

Então, o número de anagramas é:

$$\frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}$$

Calculando os fatoriais, temos:

$$10! = 3.628.800$$ $$2! = 2$$ $$3! = 6$$

Portanto:

$$\frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200$$

Assim, o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra "MATEMÁTICA" é 151.200.