Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razao da interpolação seja 1/2

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos interpolar meios aritméticos entre dois números, 12 e 34, de forma que a razão da interpolação seja $ \frac{1}{2} $.

A interpolação aritmética envolve uma sequência em progressão aritmética (PA), onde o primeiro termo é 12 e o último termo é 34. Queremos encontrar o número de meios aritméticos, $ n $, necessários para que a diferença entre cada termo consecutivo seja a mesma.

A fórmula do enésimo termo de uma PA é dada por:

$$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r $$

onde:
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão da PA,
- $ n $ é o número total de termos.

Sabemos que o último termo ($ a_{n+2} $) é 34, e queremos que a razão seja $ \frac{1}{2} $. A diferença total entre 12 e 34 é 22.

A razão $ r $ pode ser expressa em termos da diferença total dividida pelo número total de intervalos ($ n+1 $):

$$ r = \frac{22}{n+1} $$

Queremos que essa razão seja $ \frac{1}{2} $:

$$ \frac{22}{n+1} = \frac{1}{2} $$

Agora, resolvemos a equação para $ n $:

$$ 22 = \frac{1}{2} \cdot (n+1) $$

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:

$$ 44 = n+1 $$

Subtraindo 1 de ambos os lados:

$$ n = 43 $$

Portanto, **devem ser interpolados 43 meios aritméticos** entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja $ \frac{1}{2} $.

Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e ...

Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razao da interpolação seja 1/2

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