quantos números de cinco algarismos existem? Quantos numeros impares de cinco algarismos existem? Quantos numeros de cinco algarismos sao maiores que 71265? Quantos numeros de cinco algarismos distintos começam por 7?

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Vamos resolver cada uma das perguntas passo a passo:

### 1. Quantos números de cinco algarismos existem?

Para um número de cinco algarismos, o primeiro algarismo pode variar de 1 a 9 (pois não pode ser 0), e os outros quatro algarismos podem variar de 0 a 9. Portanto, temos:

- Para o primeiro algarismo: 9 opções (1-9)
- Para cada um dos outros quatro algarismos: 10 opções (0-9)

Logo, o total de números de cinco algarismos é $9 \times 10^4 = 90.000$.

### 2. Quantos números ímpares de cinco algarismos existem?

Para que um número seja ímpar, seu último dígito deve ser ímpar. Os dígitos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9.

- Primeiro algarismo: 9 opções (1-9)
- Segundo ao quarto algarismo: 10 opções cada (0-9)
- Quinto algarismo (para ser ímpar): 5 opções (1, 3, 5, 7, 9)

Portanto, o total de números ímpares de cinco algarismos é $9 \times 10^3 \times 5 = 45.000$.

### 3. Quantos números de cinco algarismos são maiores que 71265?

Para encontrar números maiores que 71265, podemos considerar o menor número de cinco algarismos maior que 71265, que é 71266.

- Para números de 71266 até 79999: O primeiro dígito é 7, o segundo pode ser 1 ou maior (até 9 para o caso de 79xxx), o terceiro varia de acordo com o segundo, e assim por diante. Isso requer uma abordagem mais detalhada para cada faixa de números.
- Para números de 80000 até 99999: Qualquer combinação desses números é válida.

Para simplificar, vamos calcular quantos números de cinco algarismos existem no total e subtrair a quantidade de números de 10000 até 71265.

Total de números de 10000 até 99999: $9 \times 10^4 = 90.000$.

Números de 10000 até 71265: O primeiro dígito varia de 1 a 7 (para 1 a 6, temos $6 \times 10^4$ números). Para o intervalo começando com 7, precisamos contar de 70000 até 71265, que são 1266 números adicionais.

Portanto, temos $6 \times 10^4 + 1266 = 60.000 + 1266 = 61.266$ números até 71265.

Assim, números maiores que 71265 são $90.000 - 61.266 = 28.734$.

### 4. Quantos números de cinco algarismos distintos começam por 7?

- Primeiro algarismo: fixo em 7.
- Segundo algarismo: 9 opções (todos exceto 7).
- Terceiro algarismo: 8 opções (excluindo o primeiro e o segundo escolhidos).
- Quarto algarismo: 7 opções (excluindo os três já escolhidos).
- Quinto algarismo: 6 opções (excluindo os quatro já escolhidos).

Portanto, o total de números de cinco algarismos distintos que começam por 7 é $1 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

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