Quantos são os números naturais entre 0 e 999 nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos seguir os seguintes passos:

1. Calcular o total de números naturais entre 0 e 999.
2. Subtrair os números que contêm o algarismo 3.
3. Adicionar os números que contêm pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3.

### Passo 1: Total de números naturais entre 0 e 999

Existem 1000 números naturais entre 0 e 999.

### Passo 2: Números que contêm o algarismo 3

Para calcular quantos números contêm o algarismo 3, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.

#### Números com 3 em uma posição específica (sem restrições)
- Para cada dígito, temos 10 opções (0 a 9).
- Para números de 3 dígitos (000 a 999), temos $10^3 = 1000$ combinações.

#### Números que contêm pelo menos um algarismo 3
Vamos considerar as combinações onde pelo menos um dos dígitos é 3.

1. **Números de 1 dígito**:
   - Total: 10 (0 a 9)
   - Números com 3: 1 (3)

2. **Números de 2 dígitos**:
   - Total: 90 (10 a 99)
   - Números com 3: $(9 \times 10 + 10 \times 9 - 9 \times 9) = 18$

3. **Números de 3 dígitos**:
   - Total: 900 (100 a 999)
   - Números com 3: $9^3 = 729$

Portanto, temos $1 + 18 + 729 = 748$ números que contêm pelo menos um algarismo 3.

### Passo 3: Números que contêm pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3

Para encontrar esses números, primeiro subtraímos os números que contêm o algarismo 3 do total, depois calculamos os números que contêm pelo menos um algarismo 2 no restante.

1. **Números sem o algarismo 3**:
   - Total: $1000 - 748 = 252$

2. **Números sem o algarismo 3 e com pelo menos um algarismo 2**:
   - Para cada dígito, temos 9 opções (0-9 exceto 3).
   - Total de combinações sem 3: $9^3 = 729$
   - Total de combinações sem 3 e sem 2: $8^3 = 512$

Portanto, temos $729 - 512 = 217$ números que contêm pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3.

### Resposta Final

O número de números naturais entre 0 e 999 nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3 é $217$.

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Quantos são os números naturais entre 0 e 999 nos quais aparece pelo menos um algarismo 2 e nenhum algarismo 3?

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