Quest˜ao 1. Mostre que trˆes retas concorrentes, n˜ao passan...

Quest˜ao 1. Mostre que trˆes retas concorrentes, n˜ao passando por um mesmo ponto, est˜ao contidas em um mesmo plano. Quest˜ao 2. Considere um conjunto de pelo menos trˆes retas distintas. Mostre que, se duas quaisquer destas retas s˜ao concorrentes, ent˜ao elas est˜ao todas em um mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto. Quest˜ao 3. Seja F um conjunto de pontos tal que quatro quaisquer de seus pontos sejam coplanares. Mostre que F ´e plana, isto ´e, est´a contida em um plano. Quest˜ao 4. Suponha a existˆencia do seguinte Postulado: Postulado: Um plano divide os pontos que lhe s˜ao exteriores em dois subconjuntos, chamdos semi-espa¸cos, de forma que um segmento com extremos no mesmo semiespa¸co n˜ao corta o plano e um segmento com extremos em semi-espa¸cos diferentes corta o plano. Conclua ent˜ao o Postulado da Interse¸c˜ao como Teorema. Quest˜ao 5. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas s˜ao coplanares. Quest˜ao 6. Mostre que, se duas retas s˜ao paralelas e distintas, todo plano que cont´em uma delas e um ponto da outra, cont´em a outra. Quest˜ao 7. Mostre que as diagonais de um quadril´atero reverso s˜ao reversas. Quest˜ao 8. Duas retas distintas, reversas a uma terceira, s˜ao reversas entre si? Quest˜ao 9. Prove que duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. Quest˜ao 10. Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, que cont´em a outra, ´e ´unico. Quest˜ao 11. Seja r uma reta qualquer e s uma reta n˜ao paralela a r. Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ao contidas no mesmo plano. Quest˜ao 12. Sejam r e s duas retas reversas, A e B pontos distintos de r e C e D pontos distintos de s. • Mostre que as retas AC e BD s˜ao reversas. • Qual a interse¸c˜ao do plano definido por r e C com o plano definido por s e A? 1Quest˜ao 13. Mostre que se uma reta ´e paralela a dois planos secantes, ent˜ao ela ´e paralela `a reta de interse¸c˜ao dos dois planos. Quest˜ao 14. Suponha que os planos α, β e γ tˆem exatamente um ponto em comum. Mostre que n˜ao existe nenhuma reta paralela a esses planos. Quest˜ao 15. Dadas trˆes retas r, s e t, reversas duas a duas. Mostre que se existe uma reta concorrente com r e s e paralela a t, ela ´e ´unica. Quest˜ao 16. Prove que, se dois planos s˜ao paralelos e uma reta ´e concorrente com um deles, ent˜ao essa reta ´e concorrente com o outro. Quest˜ao 17. Prove que, se dois planos paralelos interceptam um terceiro, ent˜ao as interse¸c˜oes s˜ao paralelas. Quest˜ao 18. Prove que se dois planos s˜ao paralelos a um terceiro, ent˜ao eles s˜ao paralelos entre si. Quest˜ao 19. Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. Mostre que existe uma ´unica reta que passa por P, encontra r e ´e paralela a α