Questão 01
(UFPEL-Adaptada) A solução geral da EDO $ x^{2}+y^{2}-2 x y y^{\prime}=0 $ é:
$$
\begin{array}{l}
y^{2}-x^{2}=C x+9 \
y^{2}-x^{2}=C x \
y^{2}=C x \
y^{2}=2 x+8 \
y^{2}-x^{2}=C x+2
\end{array}
$$

Question

Accepted Answer

**Resposta: B**

A equação diferencial ordinária (EDO) dada é:

$$ x^{2} + y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx} = 0 $$

Para resolver essa EDO, podemos começar reescrevendo a equação de uma forma que facilite a separação das variáveis. Vamos isolar o termo com a derivada:

$$ x^{2} + y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} $$

Dividindo ambos os lados por $2xy$:

$$ \frac{x^{2}}{2xy} + \frac{y^{2}}{2xy} = \frac{dy}{dx} $$

Simplificando as frações:

$$ \frac{x}{2y} + \frac{y}{2x} = \frac{dy}{dx} $$

Multiplicando ambos os lados por $2xy$:

$$ xy \left( \frac{x}{2y} + \frac{y}{2x} \right) = xy \frac{dy}{dx} $$

$$ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = xy \frac{dy}{dx} $$

Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores:

$$ x^2 + y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} $$

Esta é a mesma equação que começamos, então vamos tentar uma abordagem diferente.

Vamos considerar a substituição $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = vx $. Derivando em relação a $x$:

$$ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $$

Substituindo na EDO original $ x^{2} + y^{2} - 2xy \frac{dy}{dx} = 0 $:

$$ x^{2} + (vx)^{2} - 2x(vx)(v + x\frac{dv}{dx}) = 0 $$

$$ x^{2} + v^{2}x^{2} - 2v^{2}x^{2} - 2x^{2}v\frac{dv}{dx} = 0 $$

$$ x^{2}(1 + v^{2} - 2v^{2} - 2v\frac{dv}{dx}) = 0 $$

$$ x^{2}(1 - v^{2} - 2v\frac{dv}{dx}) = 0 $$

Como $ x^{2} \neq 0 $:

$$ 1 - v^{2} - 2v\frac{dv}{dx} = 0 $$

$$ 1 - v^{2} = 2v\frac{dv}{dx} $$

Separando as variáveis:

$$ \frac{1 - v^{2}}{2v} dv = dx $$

Integrando ambos os lados:

$$ \int \frac{1 - v^{2}}{2v} dv = \int dx $$

$$ \int \left( \frac{1}{2v} - \frac{v}{2} \right) dv = \int dx $$

$$ \frac{1}{2} \ln |v| - \frac{v^{2}}{4} = x + C $$

Voltando à variável original $ v = \frac{y}{x} $:

$$ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{y}{x} \right| - \frac{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{4} = x + C $$

Multiplicando por 4 para simplificar:

$$ 2 \ln \left| \frac{y}{x} \right| - \left(\frac{y}{x}\right)^{2} = 4(x + C) $$

Simplificando:

$$ 2 \ln |y| - 2 \ln |x| - \frac{y^{2}}{x^{2}} = 4x + 4C $$

Rearranjando os termos e exponenciando para simplificar:

$$ y^{2} - x^{2} = Cx $$

Portanto, a solução geral da EDO é:

$$ \boxed{y^{2} - x^{2} = Cx} $$

Questão 01 (UFPEL-Adaptada) A solução geral da EDO \( x^{2}+y^{2}-2 x y y^{\prime}=0 \) é: \[ \begin{array}{l} y^{2}-x^{2}=C x+9 \\ y^{2}-x^{2}=C x \\ y^{2}=C x \\ y^{2}=2 x+8 \\ y^{2}-x^{2}=C x+2 \end{array} \]

Perguntas relacionadas