Questão 01

A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e a medida da projeção de um cateto sobre a hipotenusa é 3 cm. Determine a medida desse cateto.

2.a) Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm.

2.b)

Calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4.

3 questão

Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, 15 me 20 m. Qual é o maior segmento que a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela?

4 questão

Em um triângulo ABC, retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 1, 2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo me n, respectivamente, as projeções do maior e do menor cateto sobre a m ÷n hipotenusa, calcule

5 questão

Determine as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 7 cm e cuja altura relativa à hipotenusa mede 2√3 cm.

Question

Questão 01

A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e a medida da projeção de um cateto sobre a hipotenusa é 3 cm. Determine a medida desse cateto.

2.a) Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm.

2.b)

Calcule a hipotenusa, a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4.

3 questão

Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, 15 me 20 m. Qual é o maior segmento que a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela?

4 questão

Em um triângulo ABC, retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 1, 2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo me n, respectivamente, as projeções do maior e do menor cateto sobre a m ÷n hipotenusa, calcule

5 questão

Determine as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 7 cm e cuja altura relativa à hipotenusa mede 2√3 cm.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões uma a uma, conforme solicitado.

### Questão 01

Para determinar a medida do cateto $a$, utilizamos a relação métrica no triângulo retângulo:

$$ a^2 = p \cdot c $$

onde $p$ é a projeção do cateto sobre a hipotenusa e $c$ é a hipotenusa.

Dado:
- Hipotenusa ($c$) = 12 cm
- Projeção do cateto ($p$) = 3 cm

Substituindo os valores:

$$ a^2 = 3 \cdot 12 $$
$$ a^2 = 36 $$
$$ a = \sqrt{36} $$
$$ a = 6 \, \text{cm} $$

Portanto, a medida do cateto é $6 \, \text{cm}$.

---

### Questão 2.a

Para um triângulo retângulo com catetos $a = 6 \, \text{cm}$ e $b = 8 \, \text{cm}$:

#### Hipotenusa:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
$$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} $$
$$ c = \sqrt{36 + 64} $$
$$ c = \sqrt{100} $$
$$ c = 10 \, \text{cm} $$

#### Altura relativa à hipotenusa ($h$):

$$ h = \frac{a \cdot b}{c} $$
$$ h = \frac{6 \cdot 8}{10} $$
$$ h = \frac{48}{10} $$
$$ h = 4.8 \, \text{cm} $$

#### Projeções dos catetos sobre a hipotenusa ($p_a$ e $p_b$):

$$ p_a = \frac{a^2}{c} $$
$$ p_a = \frac{6^2}{10} $$
$$ p_a = \frac{36}{10} $$
$$ p_a = 3.6 \, \text{cm} $$

$$ p_b = \frac{b^2}{c} $$
$$ p_b = \frac{8^2}{10} $$
$$ p_b = \frac{64}{10} $$
$$ p_b = 6.4 \, \text{cm} $$

---

### Questão 2.b

Para um triângulo retângulo com catetos $a = 3 \, \text{cm}$ e $b = 4 \, \text{cm}$:

#### Hipotenusa:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
$$ c = \sqrt{3^2 + 4^2} $$
$$ c = \sqrt{9 + 16} $$
$$ c = \sqrt{25} $$
$$ c = 5 \, \text{cm} $$

#### Altura relativa à hipotenusa ($h$):

$$ h = \frac{a \cdot b}{c} $$
$$ h = \frac{3 \cdot 4}{5} $$
$$ h = \frac{12}{5} $$
$$ h = 2.4 \, \text{cm} $$

#### Projeções dos catetos sobre a hipotenusa ($p_a$ e $p_b$):

$$ p_a = \frac{a^2}{c} $$
$$ p_a = \frac{3^2}{5} $$
$$ p_a = \frac{9}{5} $$
$$ p_a = 1.8 \, \text{cm} $$

$$ p_b = \frac{b^2}{c} $$
$$ p_b = \frac{4^2}{5} $$
$$ p_b = \frac{16}{5} $$
$$ p_b = 3.2 \, \text{cm} $$

---

### Questão 3

Para um triângulo retângulo com catetos $a = 15 \, \text{m}$ e $b = 20 \, \text{m}$:

#### Hipotenusa:

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
$$ c = \sqrt{15^2 + 20^2} $$
$$ c = \sqrt{225 + 400} $$
$$ c = \sqrt{625} $$
$$ c = 25 \, \text{m} $$

#### Altura relativa à hipotenusa ($h$):

$$ h = \frac{a \cdot b}{c} $$
$$ h = \frac{15 \cdot 20}{25} $$
$$ h = \frac{300}{25} $$
$$ h = 12 \, \text{m} $$

#### Segmentos determinados pela altura na hipotenusa:

Os segmentos são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa:

$$ p_a = \frac{a^2}{c} $$
$$ p_a = \frac{15^2}{25} $$
$$ p_a = \frac{225}{25} $$
$$ p_a = 9 \, \text{m} $$

$$ p_b = \frac{b^2}{c} $$
$$ p_b = \frac{20^2}{25} $$
$$ p_b = \frac{400}{25} $$
$$ p_b = 16 \, \text{m} $$

O maior segmento é $16 \, \text{m}$.

---

### Questão 4

Para um triângulo retângulo com hipotenusa $c = 2.5 \, \text{cm}$ e altura relativa à hipotenusa $h = 1.2 \, \text{cm}$:

#### Projeções dos catetos sobre a hipotenusa ($m$ e $n$):

Usando a relação:

$$ h^2 = m \cdot n $$

Substituindo os valores:

$$ 1.2^2 = m \cdot n $$
$$ 1.44 = m \cdot n $$

Sabemos que:

$$ m + n = c $$
$$ m + n = 2.5 $$

Temos o sistema de equações:

1. $ m \cdot n = 1.44 $
2. $ m + n = 2.5 $

Resolvendo este sistema:

$$ n = 2.5 - m $$

Substituindo na primeira equação:

$$ m \cdot (2.5 - m) = 1.44 $$
$$ 2.5m - m^2 = 1.44 $$
$$ m^2 - 2.5m + 1.44 = 0 $$

Resolvendo a equação quadrática:

$$ m = \frac{2.5 \pm \sqrt{2.5^2 - 4 \cdot 1.44}}{2} $$
$$ m = \frac{2.5 \pm \sqrt{6.25 - 5.76}}{2} $$
$$ m = \frac{2.5 \pm \sqrt{0.49}}{2} $$
$$ m = \frac{2.5 \pm 0.7}{2} $$

Portanto:

$$ m = \frac{2.5 + 0.7}{2} = 1.6 \, \text{cm} $$
$$ n = \frac{2.5 - 0.7}{2} = 0.9 \, \text{cm} $$

A razão $ \frac{m}{n} $ é:

$$ \frac{m}{n} = \frac{1.6}{0.9} \approx 1.78 $$

---

### Questão 5

Para um triângulo retângulo com hipotenusa $c = 7 \, \text{cm}$ e altura relativa à hipotenusa $h = 2\sqrt{3} \, \text{cm}$:

Utilizando a relação:

$$ h = \frac{a \cdot b}{c} $$

Dado que $h = 2\sqrt{3}$:

$$ 2\sqrt{3} = \frac{a \cdot b}{7} $$
$$ a \cdot b = 14\sqrt{3} $$

Além disso, sabemos que:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
$$ a^2 + b^2 = 49 $$

Temos o sistema de equações:

1. $ a \cdot b = 14\sqrt{3} $
2. $ a^2 + b^2 = 49 $

Para resolver, podemos usar substituição ou tentar fatorar. Vamos substituir $ b = \frac{14\sqrt{3}}{a} $ na segunda equação:

$$ a^2 + \left(\frac{14\sqrt{3}}{a}\right)^2 = 49 $$
$$ a^2 + \frac{588}{a^2} = 49 $$
$$ a^4 - 49a^2 + 588 = 0 $$

Seja $ x = a^2 $:

$$ x^2 - 49x + 588 = 0 $$

Resolvendo a equação quadrática:

$$ x = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 2352}}{2} $$
$$ x = \frac{49 \pm \sqrt{49}}{2} $$
$$ x = \frac{49 \pm 7}{2} $$

Portanto:

$$ x = \frac{56}{2} = 28 \quad \text{ou} \quad x = \frac{42}{2} = 21 $$

Então:

$$ a^2 = 28 \Rightarrow a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} $$
$$ b^2 = 21 \Rightarrow b = \sqrt{21} $$

Portanto, as medidas dos catetos são $a = 2\sqrt{7} \, \text{cm}$ e $b = \sqrt{21} \, \text{cm}$.

Questão 01 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo...

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