Questão 02(2,5 pontos)
Alternativa
Mariana cria coelhos, coelhas e coelhinhos, em quantidades que são expressas por números inteiros e consecutivos, tais que o quadrado de sua soma é igual à soma de seus cubos. Representando essas quantidades por (x − 1), x e (x + 1), sendo x € N. Calcule a quantidade total de animais que Mariana cria, sabendo que ela tem ao menos um de cada.
A) 3.
B) 6.
C) 9.
D) 12.
E) 15.

Question

Accepted Answer

Primeiro, vamos representar as quantidades de coelhos, coelhas e coelhinhos por $ (x - 1) $, $ x $ e $ (x + 1) $, respectivamente. Precisamos encontrar um valor de $ x $ tal que o quadrado da soma dessas quantidades seja igual à soma de seus cubos.

A soma das quantidades é:
$$
(x - 1) + x + (x + 1) = 3x
$$

O quadrado dessa soma é:
$$
(3x)^2 = 9x^2
$$

Agora, a soma dos cubos das quantidades é:
$$
(x - 1)^3 + x^3 + (x + 1)^3
$$

Calculando cada termo:
$$
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
$$
$$
x^3 = x^3
$$
$$
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
$$

Somando esses termos:
$$
(x - 1)^3 + x^3 + (x + 1)^3 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + x^3 + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1)
$$
$$
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + x^3 + x^3 + 3x^2 + 3x + 1
$$
$$
= 3x^3 + 6x
$$

A condição dada no problema é que o quadrado da soma seja igual à soma dos cubos:
$$
9x^2 = 3x^3 + 6x
$$

Dividindo ambos os lados da equação por $ 3x $:
$$
3x = x^2 + 2
$$

Rearranjando a equação:
$$
x^2 - 3x + 2 = 0
$$

Resolvendo a equação quadrática:
$$
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
$$
$$
x = 2 \quad \text{ou} \quad x = 1
$$

Como $ x $ deve ser um número natural e Mariana tem ao menos um de cada animal, $ x \neq 1 $. Portanto, $ x = 2 $.

As quantidades de coelhos, coelhas e coelhinhos são:
$$
x - 1 = 1, \quad x = 2, \quad x + 1 = 3
$$

A quantidade total de animais é:
$$
1 + 2 + 3 = 6
$$

\textbf{Resposta: B}

Mariana cria um total de 6 animais.

Questão 02(2,5 pontos) Alternativa Mariana cria coelhos, coe...

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