Questāo 1 (2,0 pontos). Mostre que $ (0,1) \sim(0,1] $.

Questāo 2 ( 2,0 pontos). Prove que em qualquer conjunto com 52 números inteiros há sempre dois deles cuja soma ou diferença é divisivel por 100.

Dica: Crie uma caixa com inteiros cujo resto da divisão por 100 é 0 , outra contendo os inteiros cujo resto da divisão 61 uu 99, outra com us que tom resto 2 ou 98 , c assim sucossivamente.

Question

Questāo 1 (2,0 pontos). Mostre que $ (0,1) \sim(0,1] $.

Questāo 2 ( 2,0 pontos). Prove que em qualquer conjunto com 52 números inteiros há sempre dois deles cuja soma ou diferença é divisivel por 100.

Dica: Crie uma caixa com inteiros cujo resto da divisão por 100 é 0 , outra contendo os inteiros cujo resto da divisão 61 uu 99, outra com us que tom resto 2 ou 98 , c assim sucossivamente.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões propostas:

### Questão 1

Para mostrar que $ (0,1) \sim (0,1] $, precisamos provar que existe uma bijeção entre os dois conjuntos. Ou seja, precisamos encontrar uma função $ f: (0,1) \to (0,1] $ que seja injetora e sobrejetora.

Uma forma de construir tal bijeção é considerar a função que "mapeia" o elemento máximo de $ (0,1) $ para o elemento máximo de $ (0,1] $. Podemos definir a função $ f $ da seguinte maneira:

1. Para $ x \in (0,1) $, se $ x \neq \frac{1}{2} $, então $ f(x) = x $.
2. Se $ x = \frac{1}{2} $, então $ f(x) = 1 $.

A função $ f $ é injetora porque não existem dois elementos distintos em $ (0,1) $ que são mapeados para o mesmo elemento em $ (0,1] $. Além disso, $ f $ é sobrejetora porque para cada $ y \in (0,1] $, existe um $ x \in (0,1) $ tal que $ f(x) = y $.

Portanto, $ (0,1) \sim (0,1] $.

### Questão 2

Para provar que em qualquer conjunto com 52 números inteiros há sempre dois deles cuja soma ou diferença é divisível por 100, podemos usar o princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio de Dirichlet).

Dividimos os números inteiros em classes de congruência módulo 100. Ou seja, consideramos os restos possíveis quando dividimos um número inteiro por 100. Esses restos são os números de 0 a 99, totalizando 100 classes de equivalência.

Se tivermos 52 números inteiros, podemos agrupá-los nas seguintes classes:

- Classe 0: Números cujo resto é 0.
- Classe 1 e 99: Números cujo resto é 1 ou 99.
- Classe 2 e 98: Números cujo resto é 2 ou 98.
- ...
- Classe 50: Números cujo resto é 50.

Note que cada par de classes (exceto a classe 0 e a classe 50) tem dois restos que somam 100. Portanto, ao dividir 52 números entre essas classes, pelo menos uma das classes conterá pelo menos dois números, devido ao princípio da Casa dos Pombos.

Portanto, sempre haverá pelo menos dois números cuja soma ou diferença é divisível por 100.

Assim, mostramos que em qualquer conjunto com 52 números inteiros, há sempre dois deles cuja soma ou diferença é divisível por 100.

Questāo 1 (2,0 pontos). Mostre que . Questāo 2 ( 2,0 pontos...

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