Questão 1 (3 pts.). Elimine os termos de 1° grau e o termo m...

Questão 1 (3 pts.). Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações. Ao final, classifique a cônica e faça esboço. a) 8x² - 2xy + 8y² - 6x - 10y + 11 = 0 b) 4x² - 12xy + 9y² - 8√13x - 14√13y + 117 = 0

Questão 2 (4 pts.). Considere a equação do segundo grau Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, que após uma mudança de coordenadas em E² é escrita na forma A'u² + B'wv + C'v² + D'u + E'v + F' = 0

a) Mostre que [D' E'] = [cos θ -sin θ] [sin θ cos θ] [D E].

b) Prove que os números A + C e B² - 4AC são invariantes por rotação, isto é, se (1) é transformada em (2) por meio de uma rotação, então A + C = A' + C' e B² - 4AC = B'² - 4A'C'.

c) Mostre que as raízes λ₁ e λ₂ da equação |A - λ B/2| |B/2 C - λ| = 0, são reais, quaisquer que sejam A, B e C.

d) Mostre ainda que λ₁ = λ₂ apenas se A = C e B = 0, e neste caso, λ₁ = λ₂ = A = C.

e) Conclua que, se A² + B² + C² ≠ 0 não pode ocorrer λ₁ = λ₂ = 0.

f) Mostre que A + C é a soma das raízes de (3) e -B² - 4AC é o produto delas.

g) Conclua que A' e C' são raízes de (3), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto.

Questão 3 (1 pt.). Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x² + 16y² = 100.

Questão 4 (2 pts.). Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados: a) os vértices (±2,0) e os focos (±3,0); b) os vértices (±15,0), e as assintotas 5y = ±4x;