Questão 1
Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:
(a) $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 2 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
(b) $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
(c) $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
Questão 2
Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:
(a) $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
(b) $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -3 \ 0 & 2 & -3 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
(c) $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & -2 \ 0 & -1 & 0 \ 8 & 6 & -5 \end{bmatrix}$
(d) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
Questão 3
Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?
Questão 5
Os autovalores da matriz $\begin{bmatrix} 7 & -8 \ 4 & -5 \end{bmatrix}$ são:
(a) -1 e 3
(b) -1 e 4
(c) -2 e 2
(d) -2 e 3
Questão 6
Seja $A$ uma matriz $2 imes 2$. Assinale a alternativa FALSA:
(a) $A$ pode não possuir autovetores
(b) Se det $A

Question

Questão 1
Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:
(a) $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 2 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
(b) $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
(c) $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
Questão 2
Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:
(a) $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
(b) $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -3 \ 0 & 2 & -3 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
(c) $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & -2 \ 0 & -1 & 0 \ 8 & 6 & -5 \end{bmatrix}$
(d) $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 0 \ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
Questão 3
Quais são os autovalores e autovetores próprios da matriz identidade?
Questão 5
Os autovalores da matriz $\begin{bmatrix} 7 & -8 \ 4 & -5 \end{bmatrix}$ são:
(a) -1 e 3
(b) -1 e 4
(c) -2 e 2
(d) -2 e 3
Questão 6
Seja $A$ uma matriz $2 	imes 2$. Assinale a alternativa FALSA:
(a) $A$ pode não possuir autovetores
(b) Se det $A < 0$ então os autovalores de $A$ podem ser 0 e 2
(c) $A$ pode ter apenas o autovalor 1 e não ser a matriz identidade
(d) Se det $A = 0$ então 0 é autovalor
Questão 7
Os autovalores da matriz $\begin{bmatrix} 3 & -2 \ 4 & -3 \end{bmatrix}$ são:
(a) $3e-\frac{1}{3}$
(b) $3e-1$
(c) $1e-\frac{1}{3}$
(d) $1e-1$

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para os exercícios propostos:

**Questão 1**

(a) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & 3 & 2 \
0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$, onde $I$ é a matriz identidade.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
3-\lambda & 0 & 0 \
0 & 3-\lambda & 2 \
0 & -1 & -\lambda
\end{bmatrix} = (3-\lambda)((3-\lambda)(-\lambda) - (-2)) = (3-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) = (3-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda - 2)
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 2$.

Para $\lambda_1 = 3$:
$$
A - 3I = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 2 \
0 & -1 & -3
\end{bmatrix}
$$
O autoespaço é gerado por $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_2 = 1$:
$$
A - I = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \
0 & 2 & 2 \
0 & -1 & -1
\end{bmatrix}
$$
O autoespaço é gerado por $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_3 = 2$:
$$
A - 2I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 2 \
0 & -1 & -2
\end{bmatrix}
$$
O autoespaço é gerado por $\begin{bmatrix} 0 \ -2 \ 1 \end{bmatrix}$.

(b) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
-\lambda & 1 \
0 & -\lambda
\end{bmatrix} = \lambda^2
$$
Portanto, o autovalor é $\lambda = 0$ (com multiplicidade 2).

Para $\lambda = 0$:
$$
A - 0I = \begin{bmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
O autoespaço é gerado por $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$.

(c) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \
0 & 1 & -1 \
0 & 1 & 3
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
2-\lambda & -1 & 0 \
0 & 1-\lambda & -1 \
0 & 1 & 3-\lambda
\end{bmatrix} = (2-\lambda)((1-\lambda)(3-\lambda) - (-1)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = (2-\lambda)(\lambda - 2)^2
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 2$ (com multiplicidade 2).

Para $\lambda = 2$:
$$
A - 2I = \begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \
0 & -1 & -1 \
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
O autoespaço é gerado por $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$.

**Questão 2**

(a) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
2-\lambda & 1 \
3 & 4-\lambda
\end{bmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda - 1)(\lambda - 5)
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5$.

Para $\lambda_1 = 1$:
$$
A - I = \begin{bmatrix}
1 & 1 \
3 & 3
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_2 = 5$:
$$
A - 5I = \begin{bmatrix}
-3 & 1 \
3 & -1
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix}$.

(b) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & -1 & -3 \
0 & 2 & -3 \
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
3-\lambda & -1 & -3 \
0 & 2-\lambda & -3 \
0 & 0 & -1-\lambda
\end{bmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -1$.

Para $\lambda_1 = 3$:
$$
A - 3I = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -3 \
0 & -1 & -3 \
0 & 0 & -4
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_2 = 2$:
$$
A - 2I = \begin{bmatrix}
1 & -1 & -3 \
0 & 0 & -3 \
0 & 0 & -3
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_3 = -1$:
$$
A - (-1)I = \begin{bmatrix}
4 & -1 & -3 \
0 & 3 & -3 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$.

(c) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & 3 & -2 \
0 & -1 & 0 \
8 & 6 & -5
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
3-\lambda & 3 & -2 \
0 & -1-\lambda & 0 \
8 & 6 & -5-\lambda
\end{bmatrix} = (-1-\lambda)((3-\lambda)(-5-\lambda) - (-16)) = (-1-\lambda)(\lambda^2 + 2\lambda + 1) = -(\lambda+1)^3
$$
Portanto, o autovalor é $\lambda = -1$ (com multiplicidade 3).

Para $\lambda = -1$:
$$
A - (-1)I = \begin{bmatrix}
4 & 3 & -2 \
0 & 0 & 0 \
8 & 6 & -4
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$.

(d) Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 \
0 & -1 & 0 \
2 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
-\lambda & 0 & 2 \
0 & -1-\lambda & 0 \
2 & 0 & -\lambda
\end{bmatrix} = (-1-\lambda)(\lambda^2 - 4) = (-1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 2)
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -2$.

Para $\lambda_1 = -1$:
$$
A - (-1)I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \
0 & 0 & 0 \
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_2 = 2$:
$$
A - 2I = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 2 \
0 & -3 & 0 \
2 & 0 & -2
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$.

Para $\lambda_3 = -2$:
$$
A - (-2)I = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 2 \
0 & 1 & 0 \
2 & 0 & 2
\end{bmatrix}
$$
O autovetor é $\begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$.

**Questão 3**

Para a matriz identidade $I$, os autovalores são todos iguais a 1. Os autovetores são todos os vetores não nulos.

**Questão 5**

Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
7 & -8 \
4 & -5
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
7-\lambda & -8 \
4 & -5-\lambda
\end{bmatrix} = (7-\lambda)(-5-\lambda) - (-32) = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1)
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1$.

**Resposta: (a)**

**Questão 6**

**Resposta: (b)**

Se det $A < 0$, então os autovalores de $A$ não podem ser 0 e 2. Se o determinante é negativo, os autovalores têm sinais opostos ou são complexos conjugados.

**Questão 7**

Para a matriz
$$
A = \begin{bmatrix}
3 & -2 \
4 & -3
\end{bmatrix}
$$
Os autovalores são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$.
$$
\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}
3-\lambda & -2 \
4 & -3-\lambda
\end{bmatrix} = (3-\lambda)(-3-\lambda) - (-8) = \lambda^2 - 1
$$
Portanto, os autovalores são $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$.

**Resposta: (d)**