Questão 10
A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45° e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30°. Calcular o comprimento da ponte.

Q: Questão 10 A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45° e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30°. Calcular o comprimento da ponte.

Para calcular o comprimento da ponte $ AB $, podemos usar a Lei dos Senos no triângulo $ APB $. No triângulo $ APB $, temos: - $ \angle APB = 45^\circ $ - $ \angle PAB = 30^\circ $ - $ \angle PBA = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ $ A Lei dos Senos é dada por: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Onde: - $ a = x $ (comprimento da ponte $ AB $) - $ b = 100 \, \text{m} $ (lado $ PB $) - $ A = 105^\circ $ - $ B = 30^\circ $ - $ C = 45^\circ $ Aplicando a Lei dos Senos: \[ \frac{x}{\sin 105^\circ} = \frac{100}{\sin 30^\circ} \] Sabendo que $ \sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ $ e $ \sin 30^\circ = 0.5 $, e que $ \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \approx 0.9659 $: \[ \frac{x}{0.9659} = \frac{100}{0.5} \] \[ x = \frac{100 \times 0.9659}{0.5} \] \[ x = 193.18 \, \text{m} \] Portanto, o comprimento da ponte $ AB $ é aproximadamente $ 193.18 \, \text{m} $.

Question

Accepted Answer

Para calcular o comprimento da ponte $ AB $, podemos usar a Lei dos Senos no triângulo $ APB $.

No triângulo $ APB $, temos:
- $ \angle APB = 45^\circ $
- $ \angle PAB = 30^\circ $
- $ \angle PBA = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ $

A Lei dos Senos é dada por:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$

Onde:
- $ a = x $ (comprimento da ponte $ AB $)
- $ b = 100 \, \text{m} $ (lado $ PB $)
- $ A = 105^\circ $
- $ B = 30^\circ $
- $ C = 45^\circ $

Aplicando a Lei dos Senos:

$$
\frac{x}{\sin 105^\circ} = \frac{100}{\sin 30^\circ}
$$

Sabendo que $ \sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ $ e $ \sin 30^\circ = 0.5 $, e que $ \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \approx 0.9659 $:

$$
\frac{x}{0.9659} = \frac{100}{0.5}
$$

$$
x = \frac{100 \times 0.9659}{0.5}
$$

$$
x = 193.18 \, \text{m}
$$

Portanto, o comprimento da ponte $ AB $ é aproximadamente $ 193.18 \, \text{m} $.