Questão 10
Em matemática, um problema de valor inicial é formado por uma equação diferencial ordinária acompanhada de, pelo menos, um valor da função solução em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial.
Sabendo que $ y=f(x) $, resolva o problema de valor inicial:
$$
\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime}=4(x+1)^{\frac{1}{2}} \
y(3)=21
\end{array}\right.
$$

Agora, a partir da soluçäo $ H(x) $ determinada, assinale a alternativa que fornece corretamente o valor assumido por $ (y-1) $ :

Question

Questão 10
Em matemática, um problema de valor inicial é formado por uma equação diferencial ordinária acompanhada de, pelo menos, um valor da função solução em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial.
Sabendo que $ y=f(x) $, resolva o problema de valor inicial:
$$
\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime}=4(x+1)^{\frac{1}{2}} \
y(3)=21
\end{array}\right.
$$

Agora, a partir da soluçäo $ H(x) $ determinada, assinale a alternativa que fornece corretamente o valor assumido por $ (y-1) $ :

Accepted Answer

Para resolver o problema de valor inicial dado, primeiro solucionamos a equação diferencial ordinária (EDO) $y'=4(x+1)^{\frac{1}{2}}$. Para isso, integramos ambos os lados da EDO em relação a $x$.

$$
\int y' \, dx = \int 4(x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx
$$

Como $y' = \frac{dy}{dx}$, podemos reescrever a integral do lado esquerdo como $\int dy$, que é simplesmente $y$. A integral do lado direito pode ser calculada usando a fórmula de integração para potências de $x$, $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, onde $n \neq -1$:

$$
y = 4 \cdot \frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C
$$

Simplificando a expressão, obtemos:

$$
y = \frac{8}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C
$$

Agora, usamos a condição inicial $y(3) = 21$ para encontrar o valor de $C$:

$$
21 = \frac{8}{3}(3+1)^{\frac{3}{2}} + C
$$

$$
21 = \frac{8}{3}(4)^{\frac{3}{2}} + C
$$

$$
21 = \frac{8}{3} \cdot 8 + C
$$

$$
21 = \frac{64}{3} + C
$$

Resolvendo para $C$, encontramos:

$$
C = 21 - \frac{64}{3} = \frac{63 - 64}{3} = \frac{-1}{3}
$$

Portanto, a solução $H(x)$ do problema de valor inicial é:

$$
y = \frac{8}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}
$$

Para encontrar o valor de $y - 1$, simplesmente subtraímos 1 da expressão encontrada para $y$:

$$
y - 1 = \frac{8}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} - 1
$$

$$
y - 1 = \frac{8}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3}
$$

Essa é a expressão que descreve $y - 1$ em termos de $x$, com base na solução $H(x)$ determinada.

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