QUESTẢO 10 $ \qquad $
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma regiâo plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serâo instalados para dar sustentaçâo ao mastro. Cada cabe de aço ticará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $ P $ do mastro, a uma altura $ h $ do solo, e a outra extremidade, num ponto no châo, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
- opção l: $ h=11 \mathrm{~m} $ e a $ =30^{\circ} $
- opção II: $ h=12 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{a}=45^{\circ} $
- opção III: $ h=18 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{a}=60^{\circ} $

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possivel.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
A $ \frac{22 \sqrt{3}}{3} $
(B) $ 11 \sqrt{2} $
(C) $ 12 \sqrt{2} $
(D) $ 12 \sqrt{3} $
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Question

QUESTẢO 10 $ \qquad $
O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma regiâo plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serâo instalados para dar sustentaçâo ao mastro. Cada cabe de aço ticará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $ P $ do mastro, a uma altura $ h $ do solo, e a outra extremidade, num ponto no châo, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão.
Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:
- opção l: $ h=11 \mathrm{~m} $ e a $ =30^{\circ} $
- opção II: $ h=12 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{a}=45^{\circ} $
- opção III: $ h=18 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{a}=60^{\circ} $

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possivel.
Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?
A $ \frac{22 \sqrt{3}}{3} $
(B) $ 11 \sqrt{2} $
(C) $ 12 \sqrt{2} $
(D) $ 12 \sqrt{3} $
22

Accepted Answer

Para encontrar a medida dos cabos em cada opção, podemos usar a relação trigonométrica no triângulo formado pelo cabo, o mastro (altura $h$) e o chão. O ângulo $a$ entre o cabo e o chão nos ajuda a determinar o comprimento do cabo ($L$) usando as funções trigonométricas.

Para um ângulo $a$ e uma altura $h$, a relação que define o comprimento do cabo ($L$) é dada pela tangente de $a$, onde:

$$ \tan(a) = \frac{h}{d} $$

Aqui, $d$ é a distância horizontal do ponto no chão até a base do mastro, e $L$, o comprimento do cabo, pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras ou diretamente pela função seno ou cosseno, dependendo do ângulo $a$. Neste caso, usaremos a função seno, já que temos $ \sin(a) = \frac{h}{L} $, de onde obtemos $ L = \frac{h}{\sin(a)} $.

Vamos calcular o comprimento dos cabos para cada opção:

- **Opção I**: $ h=11 $ m e $ a=30^{\circ} $

$$ L = \frac{11}{\sin(30^{\circ})} = \frac{11}{0.5} = 22 \text{ m} $$

- **Opção II**: $ h=12 $ m e $ a=45^{\circ} $

$$ L = \frac{12}{\sin(45^{\circ})} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \text{ m} $$

- **Opção III**: $ h=18 $ m e $ a=60^{\circ} $

$$ L = \frac{18}{\sin(60^{\circ})} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ m} $$

Comparando os comprimentos calculados:

- Opção I: $22$ m
- Opção II: $12\sqrt{2}$ m ≈ $12 \times 1.414$ m ≈ $16.97$ m
- Opção III: $12\sqrt{3}$ m ≈ $12 \times 1.732$ m ≈ $20.78$ m

A menor medida de cabo possível é, portanto, $12\sqrt{2}$ metros, que corresponde à **Opção II**.

Portanto, a resposta correta é (C) $12\sqrt{2}$.

QUESTẢO 10 22

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