Questão 10. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação y = -2x² + 8x (x ≥ 0), onde x é o tempo medido em segundos e y é a altura da bola em metros. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura máxima atingida pela bola.

c) Qual a altura da bola no instante de 3 segundos?

Question

Questão 10. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação y = -2x² + 8x (x ≥ 0), onde x é o tempo medido em segundos e y é a altura da bola em metros. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura máxima atingida pela bola.

c) Qual a altura da bola no instante de 3 segundos?

Question image: Questão 10. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação y = -2x² + 8x (x ≥ 0), onde x é o tempo medido em segundos e y é a altura da bola em metros. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura máxima atingida pela bola.

c) Qual a altura da bola no instante de 3 segundos?

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura máxima atingida pela bola.

c) Qual a altura da bola no instante de 3 segundos?

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos analisar a equação da trajetória da bola: $ y = -2x^2 + 8x $.

### a) O instante em que a bola retornará ao solo

A bola retorna ao solo quando $ y = 0 $:
$$ -2x^2 + 8x = 0 $$

Podemos fatorar a equação:
$$ -2x(x - 4) = 0 $$

Portanto, $ x = 0 $ ou $ x = 4 $.

Como $ x = 0 $ é o instante inicial, a bola retorna ao solo em $ x = 4 $ segundos.

### b) A altura máxima atingida pela bola

A altura máxima ocorre no vértice da parábola. A fórmula para encontrar o tempo do vértice $ x_v $ de uma função quadrática $ ax^2 + bx + c $ é:
$$ x_v = -\frac{b}{2a} $$

Aqui, $ a = -2 $ e $ b = 8 $:
$$ x_v = -\frac{8}{2(-2)} = 2 $$

Substituímos $ x = 2 $ na equação para encontrar a altura máxima:
$$ y = -2(2)^2 + 8(2) $$
$$ y = -8 + 16 $$
$$ y = 8 $$

A altura máxima é 8 metros.

### c) Qual a altura da bola no instante de 3 segundos?

Substituímos $ x = 3 $ na equação:
$$ y = -2(3)^2 + 8(3) $$
$$ y = -18 + 24 $$
$$ y = 6 $$

A altura da bola no instante de 3 segundos é 6 metros.

Questão 10. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um...

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