Questão 103
Uma casa tem um cabo elétrico mal dimensionado, de resistência igual a 10 Ω, que conecta à rede elétrica de 120 V. Nessa casa, cinco lâmpadas, de resistência igual a 200 Ω, estão conectadas ao mesmo circuito que uma televisão de resistência igual a 50 Ω, conforme ilustrado no esquema. A televisão funciona apenas com tensão entre 90 V e 130 V.
O número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que a televisão pare de funcionar é
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular a tensão que chega à televisão ao variar o número de lâmpadas ligadas.

### Dados:
- Resistência do cabo: $ R_c = 10 \, \Omega $
- Resistência de cada lâmpada: $ R_l = 200 \, \Omega $
- Resistência da televisão: $ R_t = 50 \, \Omega $
- Tensão da rede: $ V = 120 \, V $
- Faixa de funcionamento da TV: $ 90 \, V \leq V_{TV} \leq 130 \, V $

### Análise:

1. **Resistência total em paralelo**:
   - Se $ n $ lâmpadas estão ligadas, a resistência equivalente das lâmpadas ($ R_{eq} $) é dada por:
   $$
   \frac{1}{R_{eq}} = \frac{n}{200} + \frac{1}{50}
   $$
   Simplificando:
   $$
   R_{eq} = \frac{10000}{5n + 200}
   $$

2. **Resistência total do circuito**:
   - A resistência total do circuito ($ R_{total} $) é a soma da resistência do cabo e a resistência equivalente:
   $$
   R_{total} = 10 + R_{eq}
   $$

3. **Corrente no circuito**:
   - A corrente total ($ I $) é:
   $$
   I = \frac{V}{R_{total}}
   $$

4. **Tensão na televisão**:
   - A tensão na TV ($ V_{TV} $) é:
   $$
   V_{TV} = I \times R_t
   $$

Queremos que $ V_{TV} \geq 90 \, V $. Vamos testar os valores de $ n $:

#### Testando valores de $ n $:

- **$ n = 1 $:**
  $$
  R_{eq} = \frac{10000}{205} \approx 48.78 \, \Omega 
  $$
  $$
  R_{total} = 10 + 48.78 = 58.78 \, \Omega 
  $$
  $$
  I = \frac{120}{58.78} \approx 2.04 \, A 
  $$
  $$
  V_{TV} = 2.04 \times 50 = 102 \, V 
  $$

- **$ n = 2 $:**
  $$
  R_{eq} = \frac{10000}{210} \approx 47.62 \, \Omega 
  $$
  $$
  R_{total} = 10 + 47.62 = 57.62 \, \Omega 
  $$
  $$
  I = \frac{120}{57.62} \approx 2.08 \, A 
  $$
  $$
  V_{TV} = 2.08 \times 50 = 104 \, V 
  $$

- **$ n = 3 $:**
  $$
  R_{eq} = \frac{10000}{215} \approx 46.51 \, \Omega 
  $$
  $$
  R_{total} = 10 + 46.51 = 56.51 \, \Omega 
  $$
  $$
  I = \frac{120}{56.51} \approx 2.12 \, A 
  $$
  $$
  V_{TV} = 2.12 \times 50 = 106 \, V 
  $$

- **$ n = 4 $:**
  $$
  R_{eq} = \frac{10000}{220} \approx 45.45 \, \Omega 
  $$
  $$
  R_{total} = 10 + 45.45 = 55.45 \, \Omega 
  $$
  $$
  I = \frac{120}{55.45} \approx 2.17 \, A 
  $$
  $$
  V_{TV} = 2.17 \times 50 = 108.5 \, V 
  $$

- **$ n = 5 $:**
  $$
  R_{eq} = \frac{10000}{225} \approx 44.44 \, \Omega 
  $$
  $$
  R_{total} = 10 + 44.44 = 54.44 \, \Omega 
  $$
  $$
  I = \frac{120}{54.44} \approx 2.21 \, A 
  $$
  $$
  V_{TV} = 2.21 \times 50 = 110.5 \, V 
  $$

Portanto, o número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que a televisão pare de funcionar é **5**.

**Resposta: E**