Questão 13/20 - Cálculo Numérico
Obtenha por meio de 3 iterações do método de Newton-Raphson uma aproximação para a raiz da função f(x)=x^2-x-1 considerando o intervalo [1, 2].
A
B
C
D

Question

Accepted Answer

Para aplicar o método de Newton-Raphson, precisamos da função $ f(x) = x^3 - x - 1 $ e sua derivada $ f'(x) = 3x^2 - 1 $.

O método de Newton-Raphson é dado por:

$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

Vamos começar com um valor inicial $ x_0 $ no intervalo $[1, 2]$. Vamos escolher $ x_0 = 1.5 $.

**Iteração 1:**

$$
f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 0.875
$$
$$
f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 1 = 5.75
$$
$$
x_1 = 1.5 - \frac{0.875}{5.75} \approx 1.347826087
$$

**Iteração 2:**

$$
f(1.347826087) = (1.347826087)^3 - 1.347826087 - 1 \approx 0.100682593
$$
$$
f'(1.347826087) = 3(1.347826087)^2 - 1 \approx 4.44913784
$$
$$
x_2 = 1.347826087 - \frac{0.100682593}{4.44913784} \approx 1.325200398
$$

**Iteração 3:**

$$
f(1.325200398) = (1.325200398)^3 - 1.325200398 - 1 \approx 0.002058361
$$
$$
f'(1.325200398) = 3(1.325200398)^2 - 1 \approx 4.26794919
$$
$$
x_3 = 1.325200398 - \frac{0.002058361}{4.26794919} \approx 1.324718174
$$

Portanto, após 3 iterações, a aproximação para a raiz é aproximadamente $ x = 1.324718174 $.

**Resposta: A**

Questão 13/20 - Cálculo Numérico Obtenha por meio de 3 iterações do método de Newton-Raphson uma aproximação para a raiz da função f(x)=x^2-x-1 considerando o intervalo [1, 2]. A B C D

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