QUESTÃO 142
Um banco pretende fornecer um novo modelo d
senha para seus usuários, que deverá ser composta d
3 letras, maiúsculas e/ou minúsculas, diferindo entre
e 2 números. Os 5 dígitos podem estar organizados e
qualquer ordem.
Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

A 994 500
B 4972500
C 14040000
D 28 080 000
E 119340000

Question

QUESTÃO 142
Um banco pretende fornecer um novo modelo d
senha para seus usuários, que deverá ser composta d
3 letras, maiúsculas e/ou minúsculas, diferindo entre
e 2 números. Os 5 dígitos podem estar organizados e
qualquer ordem.
Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

A 994 500
B 4972500
C 14040000
D 28 080 000
E 119340000

Accepted Answer

**Resposta: E**

Aqui está a explicação passo a passo:

1. **Escolha das letras:**
   - Existem 26 letras no alfabeto. Como cada letra pode ser maiúscula ou minúscula, temos 52 opções para cada letra.
   - Precisamos escolher 3 letras, então temos $52^3$ possibilidades.

2. **Escolha dos números:**
   - Temos 10 dígitos (0 a 9) para escolher.
   - Precisamos escolher 2 números, então temos $10^2$ possibilidades.

3. **Arranjo dos dígitos:**
   - Temos 5 posições para preencher com 3 letras e 2 números.
   - O número de maneiras de organizar esses 5 itens é dado por $\binom{5}{3}$, que é o número de maneiras de escolher 3 posições para as letras (e as posições restantes serão para os números).
   - $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 	imes 4}{2 	imes 1} = 10$

4. **Cálculo total:**
   - O número total de senhas diferentes é dado por:
     $52^3 	imes 10^2 	imes \binom{5}{3} = 52^3 	imes 10^2 	imes 10 = 140608 	imes 100 	imes 10 = 140608000$

5. **Correção:**
   - Como as letras devem ser diferentes entre si, precisamos usar arranjos em vez de apenas elevar ao cubo.
   - Para as letras, temos 52 opções para a primeira letra, 51 para a segunda e 50 para a terceira. Então, o número de maneiras de escolher 3 letras diferentes é $52 	imes 51 	imes 50 = 132600$.
   - Para os números, podemos repetir os números, então temos $10 	imes 10 = 100$ opções.
   - O número total de senhas diferentes é dado por:
     $132600 	imes 100 	imes 10 = 132600000$

6. **Considerando a restrição de que as letras podem ser iguais:**
   - Se as letras podem ser iguais, então temos $52^3 = 140608$ opções para as letras.
   - O número total de senhas diferentes é dado por:
     $140608 	imes 100 	imes 10 = 140608000$

7. **Considerando a restrição de que os números podem ser iguais:**
   - Se os números podem ser iguais, então temos $10^2 = 100$ opções para os números.
   - O número total de senhas diferentes é dado por:
     $132600 	imes 100 	imes 10 = 132600000$

8. **Cálculo final:**
   - O número total de senhas diferentes é dado por:
     $52 	imes 51 	imes 50 	imes 10 	imes 10 	imes \binom{5}{3} = 132600 	imes 100 	imes 10 = 132600000$
   - No entanto, precisamos considerar que a ordem dos números e letras pode ser diferente. Então, temos que multiplicar por $\binom{5}{2} = 10$.
   - $132600 	imes 100 	imes 10 = 132600000$

9. **Revisão:**
   - O cálculo correto é:
     $52 	imes 51 	imes 50 	imes 10 	imes 9 	imes \binom{5}{3} = 132600 	imes 90 	imes 10 = 119340000$

Portanto, a resposta correta é a opção E: 119340000.

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