QUESTÃO 143 - Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6.000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível. Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro? A) 85 B) 100 C) 175 D) 200 E) 350

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos definir as variáveis e equações necessárias:

- $ L $ é o comprimento dos lados que custam R$ 20,00 por metro.
- $ C $ é o comprimento dos lados que custam R$ 15,00 por metro.

O custo total é dado por:

$$ 2L \times 20 + 2C \times 15 = 6000 $$

Simplificando a equação:

$$ 40L + 30C = 6000 $$

Dividindo toda a equação por 10:

$$ 4L + 3C = 600 $$

Queremos maximizar a área $ A = L \times C $.

Podemos expressar $ C $ em termos de $ L $:

$$ 3C = 600 - 4L $$
$$ C = \frac{600 - 4L}{3} $$

Substituindo na expressão da área:

$$ A = L \times \left(\frac{600 - 4L}{3}\right) $$
$$ A = \frac{600L - 4L^2}{3} $$

Para maximizar a área, derivamos $ A $ em relação a $ L $ e igualamos a zero:

$$ \frac{dA}{dL} = \frac{600 - 8L}{3} = 0 $$

Resolvendo para $ L $:

$$ 600 - 8L = 0 $$
$$ 8L = 600 $$
$$ L = 75 $$

Substituindo $ L = 75 $ na equação do perímetro:

$$ 4(75) + 3C = 600 $$
$$ 300 + 3C = 600 $$
$$ 3C = 300 $$
$$ C = 100 $$

Portanto, o maior lado do galinheiro é $ C = 100 $.

**Resposta: B**

QUESTÃO 143 - Um fazendeiro pretende construir um galinheiro...

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