Questão 15.
Deseja-se construir uma piscina retangular com lados medindo x e y em um terreno. A parte do terreno disponível para a construção da piscina tem o formato de um triângulo retângulo de lados 6, 8 e 10 metros. A piscina deve ser construída de forma que um de seus lados esteja sobre a hipotenusa do triângulo retângulo.
Qual é a área máxima possível do retângulo formado pela piscina?

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos maximizar a área do retângulo que pode ser inscrito no triângulo retângulo com lados 6, 8 e 10 metros, onde a hipotenusa de 10 metros é a base.

O retângulo deve ter um de seus lados sobre a hipotenusa. A área $ A $ do retângulo é dada por:

$$ A = x \cdot y $$

onde $ x $ e $ y $ são as dimensões do retângulo.

Podemos usar a semelhança de triângulos para relacionar $ x $ e $ y $. O triângulo formado pelos catetos $ x $ e $ y $ é semelhante ao triângulo maior. Assim, a relação entre os lados é:

$$ \frac{x}{6} = \frac{y}{8} $$

Dessa forma, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $:

$$ y = \frac{8}{6}x = \frac{4}{3}x $$

Substituindo na expressão da área:

$$ A = x \cdot \frac{4}{3}x = \frac{4}{3}x^2 $$

Para encontrar o valor máximo da área, precisamos considerar que o retângulo está inscrito no triângulo, então sua diagonal é igual à hipotenusa do triângulo, ou seja, 10 metros:

$$ \sqrt{x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2} = 10 $$

$$ \sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = 10 $$

$$ \sqrt{\frac{25}{9}x^2} = 10 $$

$$ \frac{5}{3}x = 10 $$

$$ x = 6 $$

Substituindo $ x = 6 $ em $ y = \frac{4}{3}x $:

$$ y = \frac{4}{3} \times 6 = 8 $$

Portanto, a área máxima é:

$$ A = 6 \times 8 = 48 $$

A área máxima possível do retângulo formado pela piscina é 48 metros quadrados.

Questão 15. Deseja-se construir uma piscina retangular com l...

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