QUESTÃO 151

Na fase semifinal de um festival de música, quatro
bandas distintas enfrentam-se em duelos musicais, sendo
que cada uma delas compete contra todas as outras
uma única vez. Uma pessoa interessada na diversidade
de apresentações adquiriu ingressos para dois desses
duelos, escolhendo-os aleatoriamente.

Qual é a probabilidade de que ambos os ingressos
adquiridos sejam para apresentações que incluem a
mesma banda?

A $\frac{1}{3}$

B $\frac{2}{5}$

C $\frac{1}{2}$

D $\frac{2}{3}$

E $\frac{4}{5}$

Question

QUESTÃO 151

Na fase semifinal de um festival de música, quatro
bandas distintas enfrentam-se em duelos musicais, sendo
que cada uma delas compete contra todas as outras
uma única vez. Uma pessoa interessada na diversidade
de apresentações adquiriu ingressos para dois desses
duelos, escolhendo-os aleatoriamente.

Qual é a probabilidade de que ambos os ingressos
adquiridos sejam para apresentações que incluem a
mesma banda?

A $\frac{1}{3}$

B $\frac{2}{5}$

C $\frac{1}{2}$

D $\frac{2}{3}$

E $\frac{4}{5}$

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para resolver este problema, primeiro precisamos determinar quantos duelos musicais distintos ocorrem. Como cada uma das quatro bandas compete contra todas as outras uma única vez, podemos calcular o número total de duelos usando a fórmula de combinação:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Onde $ n $ é o número total de bandas (4) e $ k $ é o número de bandas em cada duelo (2).

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

Portanto, há 6 duelos musicais distintos.

Agora, precisamos determinar quantos pares de ingressos a pessoa pode comprar. Como a pessoa compra dois ingressos aleatoriamente, estamos procurando o número de maneiras de escolher 2 duelos dentre os 6 possíveis. Usamos novamente a fórmula de combinação:

$$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$$

Então, há 15 maneiras diferentes de escolher dois ingressos.

Agora, precisamos determinar quantos desses pares de ingressos incluem a mesma banda. Para isso, vamos considerar cada banda individualmente. Cada banda participa de 3 duelos (contra as outras 3 bandas). Então, para cada banda, há $ C(3, 2) $ maneiras de escolher dois ingressos que incluam essa banda:

$$C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Como há 4 bandas, o número total de pares de ingressos que incluem a mesma banda é $ 4 \times 1 = 4 $.

Finalmente, a probabilidade de que ambos os ingressos adquiridos sejam para apresentações que incluem a mesma banda é o número de pares de ingressos que incluem a mesma banda dividido pelo número total de pares de ingressos:

$$P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Portanto, a probabilidade é $ \frac{1}{3} $.

Me ajude nessa questão por favor

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