← Questão 2/20 - Cálculo Numérico
Utilize os 4 primeiros termos da Série de Taylor
$$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$
para calcular o cosseno de 70°.

Question

Accepted Answer

Aqui está como calcular o cosseno de 70° usando os 4 primeiros termos da Série de Taylor fornecida:

Primeiro, precisamos converter 70° para radianos, pois a Série de Taylor para funções trigonométricas usa radianos.

$$x = 70° 	imes \frac{\pi}{180°} = \frac{7\pi}{18} \approx 1.22173 	ext{ radianos}$$

A Série de Taylor para $\cos(x)$ é dada por:

$$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$$

Usando os 4 primeiros termos (n = 0, 1, 2, 3):

$$\cos(x) \approx \frac{(-1)^0}{(2 \cdot 0)!} x^{2 \cdot 0} + \frac{(-1)^1}{(2 \cdot 1)!} x^{2 \cdot 1} + \frac{(-1)^2}{(2 \cdot 2)!} x^{2 \cdot 2} + \frac{(-1)^3}{(2 \cdot 3)!} x^{2 \cdot 3}$$

$$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}$$

Agora, substituímos $x = \frac{7\pi}{18}$:

$$\cos\left(\frac{7\pi}{18}ight) \approx 1 - \frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^2}{2} + \frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^4}{24} - \frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^6}{720}$$

Calculando cada termo:

1.  $1$
2.  $-\frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^2}{2} \approx -\frac{(1.22173)^2}{2} \approx -\frac{1.4926}{2} \approx -0.7463$
3.  $\frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^4}{24} \approx \frac{(1.22173)^4}{24} \approx \frac{2.229}{24} \approx 0.0929$
4.  $-\frac{\left(\frac{7\pi}{18}ight)^6}{720} \approx -\frac{(1.22173)^6}{720} \approx -\frac{3.336}{720} \approx -0.0046$

Somando os termos:

$$\cos\left(\frac{7\pi}{18}ight) \approx 1 - 0.7463 + 0.0929 - 0.0046$$

$$\cos\left(\frac{7\pi}{18}ight) \approx 0.3420$$

Portanto, o cosseno de 70° usando os 4 primeiros termos da Série de Taylor é aproximadamente 0.3420.

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