Questão 2 De acordo com um modelo desenvolvido por um grupo de saúde pública, o número de pessoas \( N(t) \), em milhares, que estarão doentes devido uma gripe no tempo \( t \), em meses, no próximo inverno é descrito por \( \mathrm{N}(\mathrm{t})=100+30 \mathrm{t}-10 \mathrm{t}^{2} \), onde \( \mathrm{t}= \) corresponde ao início de junho. (a) Quando a gripe atingirá seu pico? Quantas pessoas estarão afetadas? (b) Faça o gráfico. (c) Quando o surto de gripe terminará ?

Para resolver essa questão, vamos abordar cada item separadamente.

(a) Quando a gripe atingirá seu pico? Quantas pessoas estarão afetadas?

Para encontrar o momento em que a gripe atinge seu pico, precisamos encontrar o ponto máximo da função $\mathrm{N}(\mathrm{t})=100+30t-10t^{2}$. Isso é feito achando o valor de $t$ para o qual a derivada primeira de $N(t)$ em relação a $t$ é zero e verificando se a derivada segunda é negativa (indicando um máximo).

A derivada de $N(t)$ em relação a $t$ é:

$$N'(t) = 30 - 20t$$

Igualando a derivada a zero para encontrar o valor de $t$:

$$30 - 20t = 0$$ $$20t = 30$$ $$t = \frac{30}{20}$$ $$t = 1.5$$

Isso significa que o pico ocorre 1,5 meses após o início de junho, ou seja, na metade de julho.

Para verificar se realmente se trata de um máximo, calculamos a segunda derivada de $N(t)$:

$$N''(t) = -20$$

Como $N''(t) < 0$, confirmamos que $t = 1.5$ é um ponto de máximo.

Para encontrar o número de pessoas afetadas no pico, substituímos $t = 1.5$ em $N(t)$:

$$N(1.5) = 100 + 30(1.5) - 10(1.5)^2$$ $$N(1.5) = 100 + 45 - 10(2.25)$$ $$N(1.5) = 100 + 45 - 22.5$$ $$N(1.5) = 122.5$$

Portanto, no pico, 122,5 mil pessoas estarão afetadas.

(b) Faça o gráfico.

Para fazer o gráfico, identificamos que a função é uma parábola com concavidade para baixo (já que o coeficiente de $t^2$ é negativo). O vértice da parábola, que já calculamos, está em $(1.5, 122.5)$. O gráfico cruzará o eixo y em $N(0) = 100$. A partir dessas informações, podemos esboçar a parábola.

O gráfico não pode ser fisicamente desenhado aqui, mas você pode visualizá-lo usando um software de gráficos ou papel quadriculado, marcando o ponto do vértice e o ponto onde cruza o eixo y, e desenhando uma parábola com concavidade para baixo passando por esses pontos.

(c) Quando o surto de gripe terminará?

O surto de gripe terminará quando $N(t)$ voltar a ser 100 mil pessoas ou menos, pois esse é o valor inicial dado. Para encontrar quando isso ocorre, além do ponto inicial ($t = 0$), devemos resolver $N(t) = 100$ para $t$:

$$100 + 30t - 10t^2 = 100$$ $$30t - 10t^2 = 0$$ $$10t(3 - t) = 0$$

Isso nos dá $t = 0$ (o início do período considerado) e $t = 3$. Já sabemos sobre $t = 0$, então o surto terminará 3 meses após o início de junho, ou seja, no final de agosto.