Questão 2: Determine os limites abaixo.

a) lim (x → 0) 1 / x^5

b) lim (x → -3) 3 / (2x + 6)^2

c) lim (x → +∞) (x - 3) / (x + 5)^2x

d) lim (x → -∞) (3x - 2) / (2x + 5)

e) lim (x → +∞) (x - 2) / (2x^2 + 7)

f) lim (x → 3) (x - 3) / (2x^2 - 6x + 9)

g) lim (x → 2) (3x - 4) / (x - 2)^2

h) lim (x → 1) √(x + 1) / (x + 1)

Question

Questão 2: Determine os limites abaixo.

a) lim (x → 0) 1 / x^5

b) lim (x → -3) 3 / (2x + 6)^2

c) lim (x → +∞) (x - 3) / (x + 5)^2x

d) lim (x → -∞) (3x - 2) / (2x + 5)

e) lim (x → +∞) (x - 2) / (2x^2 + 7)

f) lim (x → 3) (x - 3) / (2x^2 - 6x + 9)

g) lim (x → 2) (3x - 4) / (x - 2)^2

h) lim (x → 1) √(x + 1) / (x + 1)

Accepted Answer

Vamos resolver os limites um por um:

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### **a) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^5} $**

Quando $ x \to 0 $, o denominador $ x^5 $ tende a zero. Como temos $ \frac{1}{x^5} $, o limite diverge para infinito (positivo ou negativo dependendo do lado). Portanto, o limite **não existe**.

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### **b) $ \lim_{x \to -3} \frac{3}{(2x + 6)^2} $**

Substituímos diretamente $ x = -3 $:
$$
2x + 6 = 2(-3) + 6 = 0.
$$
O denominador se anula, mas como ele está ao quadrado, o valor tende a $ +\infty $. Logo:
$$
\text{Resposta: } +\infty.
$$

---

### **c) $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3}{x + 5} $**

Dividimos numerador e denominador por $ x $:
$$
\frac{x - 3}{x + 5} = \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{5}{x}}.
$$
Quando $ x \to +\infty $, os termos $ \frac{3}{x} $ e $ \frac{5}{x} $ tendem a zero. Assim:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3}{x + 5} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.
$$

---

### **d) $ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{2x + 5} $**

Dividimos numerador e denominador por $ x $:
$$
\frac{3x - 2}{2x + 5} = \frac{3 - \frac{2}{x}}{2 + \frac{5}{x}}.
$$
Quando $ x \to -\infty $, os termos $ \frac{2}{x} $ e $ \frac{5}{x} $ tendem a zero. Assim:
$$
\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{2x + 5} = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}.
$$

---

### **e) $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 2}{2x^2 + 7} $**

O termo dominante no denominador é $ 2x^2 $. Dividimos numerador e denominador por $ x^2 $:
$$
\frac{x - 2}{2x^2 + 7} = \frac{\frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{7}{x^2}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + 0}.
$$
Quando $ x \to +\infty $, todos os termos com $ \frac{1}{x} $ ou $ \frac{1}{x^2} $ tendem a zero. Assim:
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 2}{2x^2 + 7} = \frac{0}{2} = 0.
$$

---

### **f) $ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{6x^2 + 9} $**

Substituímos $ x = 3 $:
$$
6x^2 + 9 = 6(3)^2 + 9 = 54 + 9 = 63.
$$
Assim:
$$
\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{6x^2 + 9} = \frac{0}{63} = 0.
$$

---

### **g) $ \lim_{x \to 2} \frac{3x - 4}{(x - 2)^2} $**

Substituímos $ x = 2 $:
$$
3x - 4 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2,
$$
e
$$
(x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0.
$$
O denominador se anula ao quadrado, então o limite tende a $ +\infty $.

---

### **h) $ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} $**

Substituímos $ x = 1 $:
$$
\sqrt{x} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2,
$$
e
$$
x + 1 = 1 + 1 = 2.
$$
Assim:
$$
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x + 1} = \frac{2}{2} = 1.
$$

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### Resumo das respostas:

a) Não existe  
b) $ +\infty $  
c) $ 1 $  
d) $ \frac{3}{2} $  
e) $ 0 $  
f) $ 0 $  
g) $ +\infty $  
h) $ 1 $